Exercice
Calculez rapidement le résultat de l’opération suivante :
\[ \frac{(-2)^{2} + (-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2}}{5} \]
La solution repose sur l’égalité :
\[ (-2)^{2} + (-1)^{2} + 0^{2} = 1^{2} + 2^{2} \]
Quel est ce résultat ?
La suite \((-2, -1, 0, 1, 2)\) est-elle la seule suite de cinq nombres entiers consécutifs pour laquelle la somme des carrés des trois premiers termes est égale à la somme des carrés des deux derniers ?
a) Le résultat de l’opération est 2.
b) Non, une autre suite, \((10, 11, 12, 13, 14)\), satisfait également la condition.
Nous allons résoudre les deux parties de cet exercice étape par étape.
Nous devons calculer l’expression suivante :
\[ \frac{(-2)^{2} + (-1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} + 2^{2}}{5} \]
Étape 1 : Calculer les carrés de chaque terme
Calculons chaque carré individuellement :
Étape 2 : Additionner les résultats obtenus
Additionnons maintenant tous ces carrés :
\[ 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 \]
Étape 3 : Diviser la somme par 5
Enfin, divisons cette somme par 5 :
\[ \frac{10}{5} = 2 \]
Réponse : Le résultat de l’opération est 2.
Analyse :
Nous devons déterminer si la suite donnée est unique pour satisfaire la condition suivante :
\[ (-2)^{2} + (-1)^{2} + 0^{2} = 1^{2} + 2^{2} \]
Rappelons que pour une suite de cinq nombres entiers consécutifs, nous pouvons la représenter de manière générale comme \((n-2, n-1, n, n+1, n+2)\), où \(n\) est le nombre central.
Condition à vérifier :
La somme des carrés des trois premiers termes doit être égale à la somme des carrés des deux derniers termes :
\[ (n-2)^{2} + (n-1)^{2} + n^{2} = (n+1)^{2} + (n+2)^{2} \]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Développons chaque côté :
\[ \begin{align*} \text{Gauche} &= (n-2)^{2} + (n-1)^{2} + n^{2} \\ &= (n^{2} - 4n + 4) + (n^{2} - 2n + 1) + n^{2} \\ &= 3n^{2} - 6n + 5 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \text{Droite} &= (n+1)^{2} + (n+2)^{2} \\ &= (n^{2} + 2n + 1) + (n^{2} + 4n + 4) \\ &= 2n^{2} + 6n + 5 \end{align*} \]
Étape 2 : Établir l’équation et résoudre pour \(n\)
Posons les deux expressions égales :
\[ 3n^{2} - 6n + 5 = 2n^{2} + 6n + 5 \]
Simplifions l’équation :
\[ 3n^{2} - 6n + 5 - 2n^{2} - 6n - 5 = 0 \\ n^{2} - 12n = 0 \]
Factorisons :
\[ n(n - 12) = 0 \]
Les solutions sont \(n = 0\) ou \(n = 12\).
Étape 3 : Analyser les solutions
\[ 10^{2} + 11^{2} + 12^{2} = 100 + 121 + 144 = 365 \\ 13^{2} + 14^{2} = 169 + 196 = 365 \]
La condition est satisfaite.
Conclusion :
Il existe deux suites de cinq nombres entiers consécutifs qui satisfont la condition donnée :
Réponse : Non, la suite \((-2, -1, 0, 1, 2)\) n’est pas la seule. Une autre suite, \((10, 11, 12, 13, 14)\), satisfait également la condition.