Question : Brahmagupta, mathématicien indien du VIIᵉ siècle, a résolu l’équation \(x^2 + 12x = 36\) en plaçant un carré de côté \(x\) autour duquel il construisait quatre rectangles de côtés \(x\) et \(3\) (le quart de 12).
En calculant l’aire du grand carré de deux manières différentes, il a déterminé la valeur positive de \(x\).
Reproduisez cette méthode pour trouver la valeur de \(x\).
x = 6√2 – 6.
Nous allons reproduire la méthode « géométrique » de Brahmagupta pour résoudre l’équation
x² + 12x = 36.
Voici comment procéder étape par étape :
────────────────────────────── 1. Construction géométrique
Imaginez un carré dont le côté mesure x. Autour de ce carré, on construit 4 rectangles identiques. Chaque rectangle a pour dimensions : un côté de longueur x (qui se partage avec le carré central) et un autre côté de longueur 3 (pour lequel on remarque que 12 se répartit en 4 fois 3).
─────────────── 2. Calcul de l’aire du grand carré
La construction géométrique consiste à « entourer » le carré central de côté x avec les 4 rectangles de sorte à former un grand carré. Pour trouver la longueur du côté de ce grand carré, on remarque que les rectangles sont placés sur chacun des côtés du carré central. Ainsi, ils ajoutent une longueur de 3 de chaque côté. Le grand carré a donc un côté :
x + 3 + 3 = x + 6.
L’aire de ce grand carré s’exprime alors de deux manières :
Méthode 1 : En additionnant les aires des pièces qui le
composent
– Le carré central a une aire de x².
– Chacun des 4 rectangles a une aire de 3x, pour une aire totale de 4
× 3x = 12x.
La somme des aires est donc :
x² + 12x.
Méthode 2 : En calculant directement l’aire du grand carré de côté (x
+ 6)
– L’aire est (x + 6)².
────────────────────────────── 3. Mise en relation et résolution de l’équation
Les deux façons de calculer l’aire du grand carré aboutissent à la même valeur. Ainsi, on a :
(x + 6)² = x² + 12x + 36.
Or, l’énoncé nous donne que :
x² + 12x = 36.
Remplaçons dans l’égalité précédente :
(x + 6)² = (36) + 36 = 72.
Nous obtenons alors :
(x + 6)² = 72.
Pour trouver x, nous prenons la racine carrée des deux côtés. Comme nous cherchons la valeur positive de x, nous ne retiendrons que la racine positive :
x + 6 = √72.
Remarquons que √72 peut s’écrire sous la forme simplifiée :
√72 = √(36×2) = 6√2.
D’où :
x + 6 = 6√2.
Pour isoler x, on soustrait 6 des deux côtés :
x = 6√2 – 6.
────────────────────────────── 4. Conclusion
La valeur positive de x, obtenue par la méthode de Brahmagupta et la comparaison des aires, est :
x = 6√2 – 6.
Cette méthode montre comment, en calculant l’aire d’un grand carré de deux manières différentes, il est possible de transformer et de résoudre l’équation x² + 12x = 36 de façon géométrique et élégante.