Existe-t-il cinq entiers positifs consécutifs \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\) tels que la somme des carrés des deux plus grands, \((n+3)^2 + (n+4)^2\), soit supérieure à la somme des carrés des trois premiers, \(n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\) ?
Oui, il existe des entiers consécutifs \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\) satisfaisant la condition pour \(n\) compris entre 1 et 9 inclus.
Correction détaillée
Nous devons déterminer s’il existe cinq entiers positifs consécutifs \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\) tels que la somme des carrés des deux plus grands (\((n+3)^2 + (n+4)^2\)) soit supérieure à la somme des carrés des trois premiers (\(n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\)).
Étape 1 : Écrire l’inégalité
Nous voulons que : \[ (n+3)^2 + (n+4)^2 > n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 \]
Étape 2 : Développer les termes au carré
Calculons chaque terme séparément.
Pour les deux plus grands : \[ (n+3)^2 = n^2 + 6n + 9 \] \[ (n+4)^2 = n^2 + 8n + 16 \] Donc, \[ (n+3)^2 + (n+4)^2 = (n^2 + 6n + 9) + (n^2 + 8n + 16) = 2n^2 + 14n + 25 \]
Pour les trois premiers : \[ n^2 = n^2 \] \[ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \] \[ (n+2)^2 = n^2 + 4n + 4 \] Donc, \[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 3n^2 + 6n + 5 \]
Étape 3 : Établir l’inégalité simplifiée
Nous avons donc : \[ 2n^2 + 14n + 25 > 3n^2 + 6n + 5 \]
Pour simplifier, décalons tous les termes du côté gauche de l’inégalité : \[ 2n^2 + 14n + 25 - 3n^2 - 6n - 5 > 0 \] \[ (-n^2) + 8n + 20 > 0 \]
Multiplions les deux côtés de l’inégalité par \(-1\) (en rappelant que cela inverse le signe de l’inégalité) : \[ n^2 - 8n - 20 < 0 \]
Étape 4 : Résoudre l’inégalité quadratique
Nous devons résoudre : \[ n^2 - 8n - 20 < 0 \]
Trouvons d’abord les racines de l’équation quadratique \(n^2 - 8n - 20 = 0\) en utilisant la formule du discriminant : \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 64 + 80 = 144 \] \[ \sqrt{\Delta} = 12 \] Les solutions sont donc : \[ n = \frac{8 \pm 12}{2} \] \[ n_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10 \quad \text{et} \quad n_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2 \]
L’inéquation \(n^2 - 8n - 20 < 0\) est vérifiée entre les racines \(n = -2\) et \(n = 10\).
Étape 5 : Déterminer les entiers positifs concernés
Puisque \(n\) doit être un entier positif, nous considérons les valeurs de \(n\) allant de \(1\) à \(9\) inclus.
Étape 6 : Vérifier avec un exemple
Prenons \(n = 9\) : \[ (n+3)^2 + (n+4)^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313 \] \[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 9^2 + 10^2 + 11^2 = 81 + 100 + 121 = 302 \] Comme \(313 > 302\), l’inégalité est vérifiée pour \(n = 9\).
Pour \(n = 10\) : \[ (n+3)^2 + (n+4)^2 = 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365 \] \[ n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365 \] Ici, \(365 = 365\), donc l’inégalité n’est plus stricte.
Conclusion
Il existe bien des entiers positifs consécutifs \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\) satisfaisant la condition donnée pour \(n = 1, 2, \ldots, 9\).
Réponse finale : Oui, il existe des entiers positifs consécutifs \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\) satisfaisant la condition pour toute valeur de \(n\) comprise entre 1 et 9 inclus.