Question : Sophie est créatrice de mosaïques. Elle souhaite réaliser un motif où le nombre de carreaux bleus sur le contour est égal au nombre de carreaux rouges à l’intérieur.
Son collègue Thomas lui a proposé un motif qui ne convient pas, car il comporte 10 carreaux rouges intérieurs et 16 carreaux bleus sur le contour.
Sophie pourra-t-elle créer des mosaïques selon son idée ?
Il n’existe aucun entier \(n\) tel que le nombre de carreaux bleus sur le contour soit égal au nombre de carreaux rouges intérieurs dans une mosaïque carrée. Ainsi, Sophie ne peut pas créer de mosaïques répondant à ses critères.
Correction détaillée :
Problématique :
Sophie souhaite créer des mosaïques où le nombre de carreaux bleus sur le contour est égal au nombre de carreaux rouges à l’intérieur. Son collègue Thomas propose un motif avec 10 carreaux rouges intérieurs et 16 carreaux bleus sur le contour, ce qui ne convient pas à Sophie. Nous allons déterminer si Sophie peut réaliser des mosaïques répondant à ses critères.
Étape 1 : Modélisation de la mosaïque
Supposons que la mosaïque soit carrée avec une taille de \(n \times n\) carreaux.
Étape 2 : Calcul des carreaux de contour et intérieurs
Carreaux de contour :
Les carreaux situés sur le contour forment un cadre autour de la mosaïque. Pour une mosaïque carrée de taille \(n \times n\), le nombre de carreaux sur le contour est donné par :
\[ \text{Carreaux de contour} = 4(n - 1) \]
Explication : Chaque côté du carré comporte \(n\) carreaux, mais les coins sont comptés une seule fois. Ainsi, il y a \(4 \times (n - 1)\) carreaux de contour.
Carreaux intérieurs :
Les carreaux intérieurs forment un carré de taille \((n - 2) \times (n - 2)\), car le contour occupe une rangée de carreaux de chaque côté.
\[ \text{Carreaux intérieurs} = (n - 2)^2 \]
Étape 3 : Établissement de l’équation
Sophie souhaite que le nombre de carreaux bleus sur le contour soit égal au nombre de carreaux rouges intérieurs. Donc :
\[ 4(n - 1) = (n - 2)^2 \]
Étape 4 : Résolution de l’équation
Développons et simplifions l’équation :
\[ 4n - 4 = n^2 - 4n + 4 \]
Réorganisons les termes pour obtenir une équation quadratique standard :
\[ n^2 - 8n + 8 = 0 \]
Résolvons cette équation du second degré à l’aide de la formule générale :
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Où \(a = 1\), \(b = -8\), et \(c = 8\). Calculons le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 64 - 32 = 32 \]
Les solutions sont donc :
\[ n = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2} \]
Approximativement :
\[ n \approx 4 + 2 \times 1,414 \approx 6,828 \quad \text{et} \quad n \approx 4 - 2 \times 1,414 \approx 1,172 \]
Étape 5 : Analyse des solutions
Le nombre de carreaux par côté, \(n\), doit être un entier positif supérieur à 2 (pour qu’il y ait des carreaux intérieurs). Les solutions obtenues ne sont pas des entiers :
Conclusion :
Il n’existe aucun entier \(n\) tel que le nombre de carreaux bleus sur le contour soit égal au nombre de carreaux rouges intérieurs dans une mosaïque carrée. Par conséquent, Sophie ne pourra pas créer de mosaïques répondant à son idée en suivant ces critères.