Exercice 24

Résous les équations suivantes en choisissant la méthode la plus efficace.

\(3x^{2} - 6x = 0\)
\(x^{2} - 8x + 12 = 0\)
\(7 = 2x^{2}\)
\(x^{2} - 5x = -6\)
\(x^{2} + 16 = 8x\)
\(3x^{2} - 9x + 27 = 2x^{2}\)
\(x^{2} = -25\)
\(5x^{2} + 7x = 3x + 3x^{2}\)
\(15 - 15x = -4x^{2}\)
\(4x^{2} = 16x + 48\)

Réponse

Réponses :

Voici la correction détaillée de chaque équation :

────────────────────────────── a) 3x² – 6x = 0

Remarquons que 3x est un facteur commun. On écrit donc : 3x(x – 2) = 0
Pour que le produit soit nul, l’un des facteurs doit être nul : • 3x = 0 ⟹ x = 0 • x – 2 = 0 ⟹ x = 2

Solution : x = 0 ou x = 2

────────────────────────────── b) x² – 8x + 12 = 0

On cherche deux nombres dont la somme est 8 et le produit est 12. On remarque que 2 et 6 conviennent puisque : 2 + 6 = 8 et 2 × 6 = 12.
On factorise : (x – 2)(x – 6) = 0
On utilise la propriété du produit nul : • x – 2 = 0 ⟹ x = 2 • x – 6 = 0 ⟹ x = 6

Solution : x = 2 ou x = 6

────────────────────────────── c) 7 = 2x²

Réécrivons l’équation sous forme standard : 2x² = 7
Divisons par 2 : x² = 7/2
Pour résoudre, on prend la racine carrée des deux côtés : x = ±√(7/2)
On peut aussi écrire sous forme simplifiée en multipliant numérateur et dénominateur par 2 : x = ±(√14)/2

Solution : x = (√14)/2 ou x = –(√14)/2

────────────────────────────── d) x² – 5x = –6

Ramenons tous les termes d’un côté afin d’obtenir 0 : x² – 5x + 6 = 0
On cherche deux nombres dont la somme est 5 et le produit est 6 (remarque : attention au signe, ici –2 et –3 donnent –2 + (–3) = –5, mais nous avons –5x, donc il faut choisir 2 et 3 avec des signes positifs car 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6, puis le signe “+6” correspond bien à (–2)(–3) = 6). Ainsi, on écrit en fait : (x – 2)(x – 3) = 0
En appliquant la propriété du produit nul : • x – 2 = 0 ⟹ x = 2 • x – 3 = 0 ⟹ x = 3

Solution : x = 2 ou x = 3

────────────────────────────── e) x² + 16 = 8x

Solution : x = 4

────────────────────────────── f) 3x² – 9x + 27 = 2x²

Soustrayez 2x² des deux côtés pour regrouper tous les termes dans le même membre : 3x² – 9x + 27 – 2x² = 0
Ce qui donne : x² – 9x + 27 = 0
Calculons le discriminant Δ : Δ = (–9)² – 4 × 1 × 27 = 81 – 108 = –27
Le discriminant est négatif, donc les solutions se trouvent dans l’ensemble des nombres complexes. On écrit : x = [9 ± √(–27)] / 2 (la formule générale : x = [–b ± √Δ] / (2a))
On peut simplifier √(–27) en écrivant : √(–27) = i√27 = 3i√3
Ainsi, les solutions sont : x = (9 + 3i√3) / 2 et x = (9 – 3i√3) / 2

Solution : x = (9 + 3i√3)/2 ou x = (9 – 3i√3)/2

────────────────────────────── g) x² = –25

Ici, l’équation est déjà isolée : x² = –25.
Pour résoudre, on prend la racine carrée en notant que la racine d’un nombre négatif introduit le nombre imaginaire i : x = ±√(–25) = ±5i

Solution : x = 5i ou x = –5i

────────────────────────────── h) 5x² + 7x = 3x + 3x²

Réorganisons l’équation en ramenant tous les termes d’un côté : 5x² + 7x – 3x – 3x² = 0
Regroupons les termes semblables : (5x² – 3x²) + (7x – 3x) = 0 2x² + 4x = 0
Factorisons par 2x : 2x(x + 2) = 0
Appliquons la propriété du produit nul : • 2x = 0 ⟹ x = 0 • x + 2 = 0 ⟹ x = –2

Solution : x = 0 ou x = –2

────────────────────────────── i) 15 – 15x = –4x²

Ajoutons 4x² aux deux côtés pour obtenir l’équation sous forme standard : 4x² + 15 – 15x = 0
On réécrit en ordonnant les termes par degré décroissant : 4x² – 15x + 15 = 0
Calculons le discriminant Δ : Δ = (–15)² – 4 × 4 × 15 = 225 – 240 = –15
Le discriminant étant négatif, les solutions sont complexes : x = [15 ± √(–15)] / (2×4) = [15 ± i√15] / 8

Solution : x = (15 + i√15)/8 ou x = (15 – i√15)/8

────────────────────────────── j) 4x² = 16x + 48

Amenez tous les termes à gauche de l’égalité : 4x² – 16x – 48 = 0
Pour simplifier, divisez l’équation par 4 : x² – 4x – 12 = 0
Calculons le discriminant Δ : Δ = (–4)² – 4×1×(–12) = 16 + 48 = 64
Puisque Δ est un nombre positif, l’équation admet deux solutions réelles : x = [4 ± √64] / 2 = [4 ± 8] / 2
On obtient alors : • x = (4 + 8)/2 = 12/2 = 6 • x = (4 – 8)/2 = (–4)/2 = –2

Solution : x = 6 ou x = –2

────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :

Chaque étape a été expliquée afin de permettre une compréhension claire et méthodique des procédures employées pour résoudre ces équations.