Exercice 23

Question : Résous les équations suivantes :

\((x+2)(x-3)=(x+1)^{2}\)
\((y-5)(y+2)=0\)
\(3 m^{2}-6=3\left(m^{2}-2\right)\)
\(x^{2}-16=0\)
\(8 x^{2}+16+32 x=48+8 x^{2}\)
\(m^{2}+4 m=0\)
\(0=4(y-5)^{2}-100\)
\(3 x^{2}=3(x-2)^{2}\)
\((z-2)^{2}=z^{2}-4 z+4\)
\(4 x^{2}-8 x+4=0\)
\(10 u+20=2 u-u^{2}\)
\(\frac{x^{2}}{3}+2 x=\frac{x^{2}}{3}+2\)

Réponse

Résumé des solutions :

\(x = -\dfrac{7}{3}\)
\(y = 5\) et \(y = -2\)
Tout réel \(m\)
\(x = \pm 4\)
\(x = 1\)
\(m = 0\) et \(m = -4\)
\(y = 10\) et \(y = 0\)
\(x = 1\)
Tout réel \(z\)
\(x = 1\)
Pas de solutions réelles
\(x = 1\)

Corrigé détaillé

Correction des équations

a) \((x+2)(x-3) = (x+1)^{2}\)

Étapes de résolution :

Développer les deux côtés de l’équation :

\[ (x + 2)(x - 3) = x^{2} - 3x + 2x - 6 = x^{2} - x - 6 \]

\[ (x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1 \]
Poser l’équation développée :

\[ x^{2} - x - 6 = x^{2} + 2x + 1 \]
Soustraire \(x^{2}\) des deux côtés :

\[ -x - 6 = 2x + 1 \]
Isoler les termes en \(x\) :

\[ -x - 2x = 1 + 6 \]

\[ -3x = 7 \]
Résoudre pour \(x\) :

\[ x = -\frac{7}{3} \]

Solution : \[ x = -\dfrac{7}{3} \]

b) \((y - 5)(y + 2) = 0\)

Étapes de résolution :

Pour un produit nul, au moins un des facteurs doit être nul.

Poser chaque facteur égal à zéro :

\[ y - 5 = 0 \quad \text{ou} \quad y + 2 = 0 \]
Résoudre chacune des équations :

\[ y = 5 \quad \text{ou} \quad y = -2 \]

Solutions : \[ y = 5 \quad \text{et} \quad y = -2 \]

c) \(3m^{2} - 6 = 3(m^{2} - 2)\)

Étapes de résolution :

Développer le côté droit :

\[ 3(m^{2} - 2) = 3m^{2} - 6 \]
L’équation devient :

\[ 3m^{2} - 6 = 3m^{2} - 6 \]
Soustraire \(3m^{2} - 6\) des deux côtés :

\[ 0 = 0 \]

Interprétation :

L’égalité est toujours vraie quel que soit \(m\). Donc, l’équation est une identité.

Solution : \[ \text{Tout réel } m \text{ vérifie l'équation.} \]

d) \(x^{2} - 16 = 0\)

Étapes de résolution :

Isoler \(x^{2}\) :

\[ x^{2} = 16 \]
Extraire la racine carrée des deux côtés :

\[ x = \pm \sqrt{16} = \pm 4 \]

Solutions : \[ x = 4 \quad \text{et} \quad x = -4 \]

e) \(8x^{2} + 16 + 32x = 48 + 8x^{2}\)

Étapes de résolution :

Simplifier l’équation en soustrayant \(8x^{2}\) des deux côtés :

\[ 16 + 32x = 48 \]
Isoler les termes constants :

\[ 32x = 48 - 16 \]

\[ 32x = 32 \]
Résoudre pour \(x\) :

\[ x = \frac{32}{32} = 1 \]

Solution : \[ x = 1 \]

f) \(m^{2} + 4m = 0\)

Étapes de résolution :

Factoriser l’équation :

\[ m(m + 4) = 0 \]
Poser chaque facteur égal à zéro :

\[ m = 0 \quad \text{ou} \quad m + 4 = 0 \]
Résoudre chacune des équations :

\[ m = 0 \quad \text{ou} \quad m = -4 \]

Solutions : \[ m = 0 \quad \text{et} \quad m = -4 \]

g) \(0 = 4(y - 5)^{2} - 100\)

Étapes de résolution :

Isoler le terme au carré :

\[ 4(y - 5)^{2} = 100 \]
Diviser par 4 :

\[ (y - 5)^{2} = 25 \]
Extraire la racine carrée des deux côtés :

\[ y - 5 = \pm 5 \]
Résoudre pour \(y\) :

\[ y = 5 \pm 5 \]

\[ y = 10 \quad \text{ou} \quad y = 0 \]

Solutions : \[ y = 10 \quad \text{et} \quad y = 0 \]

h) \(3x^{2} = 3(x - 2)^{2}\)

Étapes de résolution :

Développer le côté droit :

\[ 3(x - 2)^{2} = 3(x^{2} - 4x + 4) = 3x^{2} - 12x + 12 \]
Poser l’équation développée :

\[ 3x^{2} = 3x^{2} - 12x + 12 \]
Soustraire \(3x^{2}\) des deux côtés :

\[ 0 = -12x + 12 \]
Isoler \(x\) :

\[ -12x = -12 \]

\[ x = 1 \]

Solution : \[ x = 1 \]

i) \((z - 2)^{2} = z^{2} - 4z + 4\)

Étapes de résolution :

Développer le côté gauche :

\[ (z - 2)^{2} = z^{2} - 4z + 4 \]
Comparer avec le côté droit :

L’équation devient :

\[ z^{2} - 4z + 4 = z^{2} - 4z + 4 \]
Soustraire \(z^{2} - 4z + 4\) des deux côtés :

\[ 0 = 0 \]

Interprétation :

L’égalité est toujours vraie pour tout \(z\). Donc, l’équation est une identité.

Solution : \[ \text{Tout réel } z \text{ vérifie l'équation.} \]

j) \(4x^{2} - 8x + 4 = 0\)

Étapes de résolution :

Simplifier l’équation en divisant par 4 :

\[ x^{2} - 2x + 1 = 0 \]
Reconnaître un carré parfait :

\[ (x - 1)^{2} = 0 \]
Résoudre pour \(x\) :

\[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]

Solution : \[ x = 1 \]

k) \(10u + 20 = 2u - u^{2}\)

Étapes de résolution :

Réarranger tous les termes du côté gauche :

\[ u^{2} + 10u + 20 - 2u = 0 \]

\[ u^{2} + 8u + 20 = 0 \]
Utiliser la formule du discriminant :

\[ \Delta = b^{2} - 4ac = 8^{2} - 4 \times 1 \times 20 = 64 - 80 = -16 \]
Interpréter le discriminant :

Comme \(\Delta < 0\), il n’y a pas de solutions réelles.

Solution : \[ \text{Il n'existe pas de solutions réelles pour } u. \]

l) \(\frac{x^{2}}{3} + 2x = \frac{x^{2}}{3} + 2\)

Étapes de résolution :

Soustraire \(\frac{x^{2}}{3}\) des deux côtés :

\[ 2x = 2 \]
Résoudre pour \(x\) :

\[ x = \frac{2}{2} = 1 \]

Solution : \[ x = 1 \]