Exercice :
Sophie choisit un nombre qu’elle élève au carré et obtient 64. Quels nombres a-t-elle pu choisir ?
Julien choisit un nombre, le multiplie par 5, puis soustrait le triple du carré de ce nombre. Le résultat est égal à zéro. Quels nombres Julien a-t-il pu choisir ?
Lucas doit résoudre les équations suivantes :
\(x^{2} - 10x + 25 = 0\)
\(x^{2} - 49 = 0\)
\(8x^{2} - 4x - 12 = 0\)
Réponses finales : 1) 8 ou –8
2) 0 ou 5/3
3a) 5 3b) 7 ou –7 3c) 3/2 ou –1.
Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.
────────────────────────────── 1) Sophie choisit un nombre qui, lorsqu’il est élevé au carré, donne 64.
Démarche : • Soit x le nombre choisi par Sophie. L’équation est donc
:
x² = 64. • Pour trouver x, nous cherchons le nombre dont le carré est
64.
On sait que 8² = 64. • Un détail important : lorsqu’on élève un nombre
négatif au carré, le résultat est également positif.
En effet, (-8)² = (-8) × (-8) = 64.
Conclusion :
Sophie a pu choisir 8 ou -8.
────────────────────────────── 2) Julien choisit un nombre, le multiplie par 5, puis lui soustrait le triple de son carré pour obtenir zéro.
Démarche : • Soit x le nombre choisi par Julien. On traduit la
situation par l’équation :
5x − 3x² = 0. • Pour résoudre cette équation, remarquons que x est un
facteur commun. Nous pouvons factoriser :
x (5 − 3x) = 0. • Un produit est nul si l’un des facteurs est nul.
Nous obtenons donc deux cas : – Cas 1 : x = 0. – Cas 2 : 5 − 3x =
0
3x = 5
x = 5/3.
Conclusion : Julien a pu choisir 0 ou 5/3.
────────────────────────────── 3) Lucas doit résoudre les équations suivantes :
Démarche : • On peut essayer de factoriser ce trinôme. Remarquons que
25 est le carré de 5 et 10x est deux fois 5x.
On reconnaît le développement de (x − 5)² :
(x − 5)² = x² − 10x + 25. • Ainsi, l’équation devient :
(x − 5)² = 0. • Pour que le carré d’un nombre soit égal à 0, il faut
que ce nombre soit 0.
Donc, x − 5 = 0 ⟹ x = 5.
Conclusion pour a) :
La seule solution est x = 5.
────────────────────────────── b) Résoudre x² − 49 = 0.
Démarche : • On remarque que 49 est le carré de 7, ce qui permet
d’écrire :
x² − 7² = 0. • Il s’agit ici d’une différence de deux carrés que l’on
peut factoriser :
x² − 7² = (x − 7)(x + 7) = 0. • Pour que le produit soit nul, l’un des
facteurs doit être nul : – Cas 1 : x − 7 = 0 ⟹ x = 7. – Cas 2 : x +
7 = 0 ⟹ x = −7.
Conclusion pour b) :
Les solutions sont x = 7 et x = −7.
────────────────────────────── c) Résoudre 8x² − 4x − 12 = 0.
Démarche : 1. Nous pouvons d’abord simplifier l’équation en divisant
tous les termes par 2 :
8x² − 4x − 12 = 0 ⟹ 4x² − 2x − 6 = 0. 2. Pour résoudre cette équation
quadratique, nous utilisons la formule générale :
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
où a = 4, b = −2 et c = −6. 3. Calcul du discriminant Δ : Δ = b² −
4ac = (−2)² − 4 × 4 × (−6)
= 4 + 96 = 100. 4. Comme Δ est positif, il y a deux solutions
distinctes. Calculons-les : x = [−(−2) ± √100] / (2 × 4) = [2 ±
10] / 8. 5. Nous avons alors deux solutions : – Première solution : x
= (2 + 10) / 8 = 12/8 = 3/2. – Deuxième solution : x = (2 − 10) / 8 =
(−8) / 8 = −1.
Conclusion pour c) :
Les solutions de l’équation sont x = 3/2 et x = −1.
────────────────────────────── Réponses finales :