Exercice 21

1. Choisissez un nombre, élevez-le au carré et obtenez 16. Pour quel(s) nombre(s) cette affirmation est correcte ?

2. Soit l’équation \(x^{2} = 16\).

   1. Représentez graphiquement les fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x) = x^{2}\) et \(g(x) = 16\).
   2. Comment, à l’aide du graphique, pouvez-vous déterminer les solutions de l’équation \(x^{2} = 16\) ?

3. Déterminez l’ensemble des solutions des équations suivantes :

   1. \(x^{2} = 64\)
   2. \(x^{2} - 49 = 0\)
   3. \(x^{2} + 49 = 0\)
   4. \(x^{2} = 0\)

Réponse

Réponses très courtes :

1. x² = 16 ⟹ x = 4 ou x = -4.

2. Graphiquement, la parabole f(x) = x² et la droite g(x) = 16 se coupent aux points (4,16) et (-4,16).

3.  a) x² = 64 ⟹ x = 8 ou x = -8.  b) x² – 49 = 0 ⟹ x = 7 ou x = -7.  c) x² + 49 = 0 ⟹ pas de solution réelle.  d) x² = 0 ⟹ x = 0.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre et expliquer chacune des parties de l’exercice de manière détaillée et en suivant les étapes logiques.

────────────────────────────── 1. Choisissez un nombre, élevez-le au carré et obtenez 16.

On cherche un nombre x tel que x² = 16. Pour résoudre cette équation, nous allons trouver les nombres qui, lorsqu’ils sont multipliés par eux-mêmes, donnent 16.

Étape 1 : Écrire l’équation
  x² = 16

Étape 2 : Chercher les solutions
Nous savons que 4 × 4 = 16. Or, (-4) × (-4) = 16 également, car le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif.

Donc, les deux solutions sont :
  x = 4  et  x = -4

────────────────────────────── 2. Étude graphique de l’équation x² = 16.

1. Représentation graphique des fonctions f et g

Nous considérons deux fonctions :

  • f(x) = x²
  • g(x) = 16

• La fonction f(x) = x² est une parabole qui a son sommet à (0, 0) et qui s’ouvre vers le haut.
  
• La fonction g(x) = 16 est une droite horizontale qui passe par y = 16 pour tous les x.

Pour tracer ces deux courbes sur un même graphique :   • Sur l’axe horizontal (l’axe des x), on choisit plusieurs valeurs positives et négatives.   • Pour f(x) = x², on calcule par exemple :
    – f(0) = 0² = 0
    – f(2) = 2² = 4 et f(-2) = (-2)² = 4
    – f(4) = 4² = 16 et f(-4) = (-4)² = 16
  • La droite g(x) = 16 sera tracée parallèlement à l’axe des abscisses et passe par le point (0, 16).

2. Détermination des solutions à l’aide du graphique

Lorsque l’on représente ces deux fonctions sur le même graphique, les solutions de l’équation x² = 16 correspondent aux points où la courbe de la parabole et la droite horizontale se coupent.

Sur le graphique, on remarque :   • La parabole f(x) = x² croise la droite g(x) = 16 aux points où y = 16.
  • Ces points d’intersection sont (4, 16) et (-4, 16).

Ainsi, en observant le graphique, on peut voir que les solutions de l’équation x² = 16 sont x = 4 et x = -4.

────────────────────────────── 3. Détermination de l’ensemble des solutions pour plusieurs équations

1. Équation : x² = 64

Pour trouver x, nous cherchons le nombre qui, élevé au carré, donne 64.   • 8 × 8 = 64
  • (-8) × (-8) = 64

L’ensemble des solutions est donc :
  {x = 8 ou x = -8}

────────────────────────────── b) Équation : x² - 49 = 0

Pour résoudre cette équation, suivons ces étapes :

Étape 1 : Isoler x²
  x² = 49

Étape 2 : Prendre la racine carrée
  • √49 = 7
  • Ainsi, x = 7 ou x = -7

L’ensemble des solutions est donc :
  {x = 7 ou x = -7}

────────────────────────────── c) Équation : x² + 49 = 0

Pour résoudre cette équation, nous pouvons écrire :

x² = -49

Remarque : Le carré d’un nombre réel est toujours positif (ou nul). Il n’existe donc aucun nombre réel dont le carré est -49.

L’ensemble des solutions réelles est donc vide ; autrement dit, l’équation ne possède pas de solution dans ℝ.

────────────────────────────── d) Équation : x² = 0

Pour résoudre cette équation, on cherche le nombre dont le carré est égal à 0.

Nous savons que :
  0 × 0 = 0

La seule solution est :
  x = 0

Ainsi, l’ensemble des solutions est :
  {x = 0}

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. Pour x² = 16, les nombres satisfaisant l’équation sont x = 4 et x = -4.

2. 1. La fonction f(x) = x² est une parabole avec sommet en (0, 0) et g(x) = 16 est une droite horizontale passant par y = 16.
        b) Le graphique montre que f(x) = x² et g(x) = 16 se coupent en (4, 16) et (-4, 16), d’où les solutions x = 4 et x = -4.
3. 1. Pour x² = 64, les solutions sont x = 8 et x = -8.
        b) Pour x² - 49 = 0, les solutions sont x = 7 et x = -7.
        c) Pour x² + 49 = 0, il n’existe aucune solution réelle.
        d) Pour x² = 0, la solution est x = 0.

Cette démarche vous permet de comprendre pas à pas comment résoudre ces équations et interpréter leurs représentations graphiques.