Question : On considère le programme de calcul suivant :
Montre que si on choisit 4 comme nombre de départ, on obtient 0.
Si on appelle \(x\) le nombre de départ, écris une expression qui traduit le programme.
On considère \(R = (3x + 5)^2 - 121\). Factorise \(R\).
Résous \(R = 0\).
Quel(s) nombre(s) faut-il choisir au départ pour que le résultat du programme de calcul soit nul ?
Pour obtenir un résultat nul, il faut choisir \(x = 2\) ou \(x = -\dfrac{16}{3}\). L’expression associée est \(R = (3x + 5)^2 - 121\), qui se factorise en \((3x - 6)(3x + 16)\).
Étapes du programme :
Choisir un nombre :
Soit \(x = 4\).
Multiplier par 3 :
\(3 \times 4 = 12\).
Ajouter 5 :
\(12 + 5 = 17\).
Calculer le carré :
\(17^2 = 289\).
Soustraire 121 :
\(289 - 121 = 168\).
Analyse de l’erreur :
En suivant les étapes telles qu’elles sont données, le résultat obtenu est \(168\) et non \(0\). Il semble y avoir une confusion dans les opérations ou les constantes utilisées.
Pour vérifier l’affirmation selon laquelle le résultat serait \(0\) avec \(x = 4\), réexaminons les étapes :
Choisir un nombre :
\(x = 4\).
Multiplier par 3 :
\(3 \times 4 = 12\).
Ajouter 5 :
\(12 + 5 = 17\).
Calculer le carré :
\(17^2 = 289\).
Soustraire 289 :
\(289 - 289 = 0\).
Conclusion :
Si à l’étape 5, on soustrait \(289\) au
lieu de \(121\), le résultat serait
bien \(0\) pour \(x = 4\). Il est donc probable qu’il y ait
une erreur dans l’énoncé initial concernant la valeur à soustraire.
Le programme de calcul peut être traduit par l’expression suivante en fonction de \(x\) :
\[ R = (3x + 5)^2 - 121 \]
Explication :
Multiplier par 3 et ajouter 5 :
\(3x + 5\).
Calculer le carré du résultat :
\((3x + 5)^2\).
Soustraire 121 :
\((3x + 5)^2 - 121\).
Ainsi, l’expression complète est \(R = (3x + 5)^2 - 121\).
Nous avons l’expression :
\[ R = (3x + 5)^2 - 121 \]
Étapes de la factorisation :
Reconnaître une différence de carrés :
\((3x + 5)^2 - 11^2\), puisque \(121 = 11^2\).
Appliquer la formule de la différence de carrés
:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a +
b)\).
Appliquer la formule à \(R\) :
\[
R = (3x + 5 - 11)(3x + 5 + 11)
\]
Simplifier les parenthèses :
\[
R = (3x - 6)(3x + 16)
\]
Conclusion :
La factorisation de \(R\) est donc :
\[ R = (3x - 6)(3x + 16) \]
Nous avons factorisé \(R\) de la manière suivante :
\[ R = (3x - 6)(3x + 16) = 0 \]
Étapes de résolution :
Appliquer la règle du produit nul :
Si \((A)(B) = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B =
0\).
Résoudre chaque équation séparément :
Première équation :
\(3x - 6 = 0\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
Deuxième équation :
\(3x + 16 = 0\)
\(3x = -16\)
\(x = -\dfrac{16}{3}\)
Conclusion :
Les solutions de l’équation \(R = 0\) sont :
\[ x = 2 \quad \text{et} \quad x = -\dfrac{16}{3} \]
Pour que le résultat du programme soit nul, il faut que \(R = 0\). D’après la résolution précédente, les valeurs de \(x\) qui satisfont cette condition sont :
\[ x = 2 \quad \text{et} \quad x = -\dfrac{16}{3} \]
Interprétation :
\(x = 2\)
:
C’est une solution positive et entière.
\(x = -\dfrac{16}{3}\)
:
C’est une solution négative et fractionnaire.
Ainsi, les nombres à choisir au départ pour obtenir un résultat nul dans le programme sont \(2\) et \(-\dfrac{16}{3}\).