Résous chaque équation.
\(x^{2} - 64 = 0\)
\(16x^{2} - 81 = 0\)
\(36x^{2} = 25\)
\((2x - 3)^{2} = 16\)
Réponses :
a) x = 8 ou –8
b) x = 9⁄4 ou –9⁄4
c) x = 5⁄6 ou –5⁄6
d) x = 7⁄2 ou –1⁄2
Voici la correction détaillée de chaque équation :
────────────────────────────── a) Équation : x² – 64 = 0
On remarque que 64 est le carré de 8. On peut donc écrire : x² – 8² = 0
Cette expression est une différence de deux carrés, qui se factorise ainsi : (x – 8)(x + 8) = 0
Pour que ce produit soit nul, l’un des facteurs doit être égal à 0 : • Si x – 8 = 0, alors x = 8. • Si x + 8 = 0, alors x = –8.
Solution de (a) : x = 8 ou x = –8.
────────────────────────────── b) Équation : 16x² – 81 = 0
On identifie que 16x² est le carré de 4x (car (4x)² = 16x²) et 81 est le carré de 9 (car 9² = 81). On réécrit l’équation : (4x)² – 9² = 0
Cette expression est également une différence de deux carrés et se factorise : (4x – 9)(4x + 9) = 0
Chaque facteur étant égal à 0, on a : • 4x – 9 = 0 ⟹ 4x = 9 ⟹ x = 9⁄4. • 4x + 9 = 0 ⟹ 4x = –9 ⟹ x = –9⁄4.
Solution de (b) : x = 9⁄4 ou x = –9⁄4.
────────────────────────────── c) Équation : 36x² = 25
On commence par isoler x² en divisant les deux côtés par 36 : x² = 25⁄36
Ensuite, pour trouver x, on prend la racine carrée des deux côtés (la racine carrée d’un nombre positif donne deux solutions, une positive et une négative) : x = ±√(25⁄36)
Calcul des racines : √(25⁄36) = √25 ⁄ √36 = 5⁄6
Solution de (c) : x = 5⁄6 ou x = –5⁄6.
────────────────────────────── d) Équation : (2x – 3)² = 16
Pour éliminer le carré, on prend la racine carrée des deux côtés de l’équation (en conservant les deux signes) : 2x – 3 = ±√16
Comme √16 = 4, on obtient deux équations : • 2x – 3 = 4 • 2x – 3 = –4
Résolvons chacune de ces équations :
• Pour 2x – 3 = 4 : Ajoutons 3 des deux côtés : 2x = 7 Divisons par 2 : x = 7⁄2
• Pour 2x – 3 = –4 : Ajoutons 3 des deux côtés : 2x = –1 Divisons par 2 : x = –1⁄2
Solution de (d) : x = 7⁄2 ou x = –1⁄2.
────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :
Chaque étape a permis d’isoler la variable et d’appliquer des méthodes de factorisation ou d’extraction de racine pour résoudre les équations.