Pour chaque cas suivant, trouver deux nombres dont :
Résumé des corrections :
Trouver deux nombres dont le produit est \(+7\) et la somme est \(+8\).
Définir les variables :
Soit \(x\) et \(y\) les deux nombres recherchés.
Établir les équations :
\[ \begin{cases} x \times y = 7 \\ x + y = 8 \end{cases} \]
Exprimer une variable en fonction de l’autre :
À partir de la deuxième équation :
\[ y = 8 - x \]
Substituer dans la première équation :
\[ x \times (8 - x) = 7 \]
\[ 8x - x^2 = 7 \]
Réarranger l’équation :
\[ x^2 - 8x + 7 = 0 \]
Résoudre l’équation quadratique :
Utilisons le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 7 = 64 - 28 = 36 \]
Les solutions sont :
\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2} \]
Donc,
\[ x_1 = \frac{14}{2} = 7 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Déterminer les deux nombres :
Si \(x = 7\), alors \(y = 8 - 7 = 1\).
Si \(x = 1\), alors \(y = 8 - 1 = 7\).
Les deux nombres recherchés sont \(1\) et \(7\).
Trouver deux nombres dont le produit est \(-20\) et la somme est \(-8\).
Définir les variables :
Soit \(x\) et \(y\) les deux nombres recherchés.
Établir les équations :
\[ \begin{cases} x \times y = -20 \\ x + y = -8 \end{cases} \]
Exprimer une variable en fonction de l’autre :
À partir de la deuxième équation :
\[ y = -8 - x \]
Substituer dans la première équation :
\[ x \times (-8 - x) = -20 \]
\[ -8x - x^2 = -20 \]
Réarranger l’équation :
\[ x^2 + 8x - 20 = 0 \]
Résoudre l’équation quadratique :
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 64 + 80 = 144 \]
Les solutions sont :
\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-8 \pm 12}{2} \]
Donc,
\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-20}{2} = -10 \]
Déterminer les deux nombres :
Si \(x = 2\), alors \(y = -8 - 2 = -10\).
Si \(x = -10\), alors \(y = -8 - (-10) = 2\).
Les deux nombres recherchés sont \(2\) et \(-10\).
Trouver deux nombres dont le produit est \(-20\) et la somme est \(+1\).
Définir les variables :
Soit \(x\) et \(y\) les deux nombres recherchés.
Établir les équations :
\[ \begin{cases} x \times y = -20 \\ x + y = 1 \end{cases} \]
Exprimer une variable en fonction de l’autre :
À partir de la deuxième équation :
\[ y = 1 - x \]
Substituer dans la première équation :
\[ x \times (1 - x) = -20 \]
\[ x - x^2 = -20 \]
Réarranger l’équation :
\[ x^2 - x - 20 = 0 \]
Résoudre l’équation quadratique :
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 1 + 80 = 81 \]
Les solutions sont :
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \]
Donc,
\[ x_1 = \frac{10}{2} = 5 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Déterminer les deux nombres :
Si \(x = 5\), alors \(y = 1 - 5 = -4\).
Si \(x = -4\), alors \(y = 1 - (-4) = 5\).
Les deux nombres recherchés sont \(5\) et \(-4\).
Trouver deux nombres dont le produit est \(+36\) et la somme est \(+12\).
Définir les variables :
Soit \(x\) et \(y\) les deux nombres recherchés.
Établir les équations :
\[ \begin{cases} x \times y = 36 \\ x + y = 12 \end{cases} \]
Exprimer une variable en fonction de l’autre :
À partir de la deuxième équation :
\[ y = 12 - x \]
Substituer dans la première équation :
\[ x \times (12 - x) = 36 \]
\[ 12x - x^2 = 36 \]
Réarranger l’équation :
\[ x^2 - 12x + 36 = 0 \]
Résoudre l’équation quadratique :
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \times 1 \times 36 = 144 - 144 = 0 \]
Une solution double :
\[ x = \frac{12}{2} = 6 \]
Déterminer les deux nombres :
Si \(x = 6\), alors \(y = 12 - 6 = 6\).
Les deux nombres recherchés sont \(6\) et \(6\).
Trouver deux nombres dont le produit est \(-40\) et la somme est \(+3\).
Définir les variables :
Soit \(x\) et \(y\) les deux nombres recherchés.
Établir les équations :
\[ \begin{cases} x \times y = -40 \\ x + y = 3 \end{cases} \]
Exprimer une variable en fonction de l’autre :
À partir de la deuxième équation :
\[ y = 3 - x \]
Substituer dans la première équation :
\[ x \times (3 - x) = -40 \]
\[ 3x - x^2 = -40 \]
Réarranger l’équation :
\[ x^2 - 3x - 40 = 0 \]
Résoudre l’équation quadratique :
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-40) = 9 + 160 = 169 \]
Les solutions sont :
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{3 \pm 13}{2} \]
Donc,
\[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Déterminer les deux nombres :
Si \(x = 8\), alors \(y = 3 - 8 = -5\).
Si \(x = -5\), alors \(y = 3 - (-5) = 8\).
Les deux nombres recherchés sont \(8\) et \(-5\).
Trouver deux nombres dont le produit est \(+28\) et la somme est \(-11\).
Définir les variables :
Soit \(x\) et \(y\) les deux nombres recherchés.
Établir les équations :
\[ \begin{cases} x \times y = 28 \\ x + y = -11 \end{cases} \]
Exprimer une variable en fonction de l’autre :
À partir de la deuxième équation :
\[ y = -11 - x \]
Substituer dans la première équation :
\[ x \times (-11 - x) = 28 \]
\[ -11x - x^2 = 28 \]
Réarranger l’équation :
\[ x^2 + 11x + 28 = 0 \]
Résoudre l’équation quadratique :
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \times 1 \times 28 = 121 - 112 = 9 \]
Les solutions sont :
\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-11 \pm 3}{2} \]
Donc,
\[ x_1 = \frac{-8}{2} = -4 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \]
Déterminer les deux nombres :
Si \(x = -4\), alors \(y = -11 - (-4) = -7\).
Si \(x = -7\), alors \(y = -11 - (-7) = -4\).
Les deux nombres recherchés sont \(-4\) et \(-7\).