Deux entiers positifs consécutifs \(n\) et \(n+1\) satisfont les conditions suivantes : \[ (n+1)^2 - n^2 < 100 \] \[ n^2 + (n+1)^2 > 4700 \] Quels sont ces entiers ?
Les entiers consécutifs satisfaisant les conditions sont (48, 49) et (49, 50).
Pour résoudre ce problème, nous devons trouver deux entiers positifs consécutifs \(n\) et \(n+1\) qui satisfont les deux inégalités suivantes :
\[ (n+1)^2 - n^2 < 100 \] \[ n^2 + (n+1)^2 > 4700 \]
Suivons les étapes ci-dessous pour déterminer ces entiers.
Commençons par la première inégalité :
\[ (n+1)^2 - n^2 < 100 \]
Développons l’expression \((n+1)^2\) :
\[ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \]
Substituons cette expression dans l’inégalité :
\[ (n^2 + 2n + 1) - n^2 < 100 \]
Simplifions :
\[ 2n + 1 < 100 \]
Isolons \(n\) :
\[ 2n < 99 \quad \Rightarrow \quad n < \frac{99}{2} \quad \Rightarrow \quad n < 49,5 \]
Comme \(n\) est un entier positif, la première condition nous donne :
\[ n \leq 49 \]
Passons maintenant à la deuxième inégalité :
\[ n^2 + (n+1)^2 > 4700 \]
Développons \((n+1)^2\) :
\[ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \]
Substituons dans l’inégalité :
\[ n^2 + (n^2 + 2n + 1) > 4700 \]
Simplifions :
\[ 2n^2 + 2n + 1 > 4700 \]
Soustrayons 1 des deux côtés :
\[ 2n^2 + 2n > 4699 \]
Divisons par 2 pour simplifier :
\[ n^2 + n > 2349,5 \]
Pour trouver \(n\), nous résolvons l’équation quadratique associée :
\[ n^2 + n - 2349,5 > 0 \]
Utilisons la formule du discriminant pour trouver les racines de l’équation \(n^2 + n - 2349,5 = 0\) :
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2349,5) = 1 + 9398 = 9399 \]
Calculons les racines :
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9399}}{2} \]
Approximativement :
\[ \sqrt{9399} \approx 96,96 \] \[ n \approx \frac{-1 + 96,96}{2} \approx \frac{95,96}{2} \approx 47,98 \]
Comme \(n\) doit être un entier, nous avons :
\[ n > 47,98 \quad \Rightarrow \quad n \geq 48 \]
Nous avons maintenant deux conditions pour \(n\) :
\[ n \leq 49 \] \[ n \geq 48 \]
Ainsi, les valeurs possibles de \(n\) sont :
\[ n = 48 \quad \text{ou} \quad n = 49 \]
Vérifions chacune des valeurs de \(n\) pour nous assurer qu’elles satisfont les deux inégalités.
\[ (n+1)^2 - n^2 = 49^2 - 48^2 = (49 + 48)(49 - 48) = 97 \times 1 = 97 < 100 \quad \text{✓} \]
\[ n^2 + (n+1)^2 = 48^2 + 49^2 = 2304 + 2401 = 4705 > 4700 \quad \text{✓} \]
\[ (n+1)^2 - n^2 = 50^2 - 49^2 = (50 + 49)(50 - 49) = 99 \times 1 = 99 < 100 \quad \text{✓} \]
\[ n^2 + (n+1)^2 = 49^2 + 50^2 = 2401 + 2500 = 4901 > 4700 \quad \text{✓} \]
Les entiers positifs consécutifs qui satisfont les conditions données sont :
\[ n = 48 \quad \text{et} \quad n = 49 \]
Ainsi, les paires d’entiers sont \((48, 49)\) et \((49, 50)\).