Exercice 15

Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :

1. \(x^{2} - 1 \leq -1\)
2. \(x \geq -x\)
3. \(-x^{2} \leq 2\)
4. \(2x^{2} - 4 \geq x^{2}\)
5. \(x^{3} \geq -1\)
6. \(x^{2} + 1 \geq -x^{2} - 1\)

Réponse

Solutions des inéquations :

1. \(x = 0\)
2. \(x \geq 0\)
3. Tous les réels \(x\)
4. \(x \leq -2\) ou \(x \geq 2\)
5. \(x \geq -1\)
6. Tous les réels \(x\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée des inéquations

Voici la résolution graphique des inéquations données, étape par étape.

1. \(x^{2} - 1 \leq -1\)

Étapes de résolution :

1. Simplifier l’inéquation : \[ x^{2} - 1 \leq -1 \] Ajoutons 1 des deux côtés pour simplifier : \[ x^{2} \leq 0 \]

2. Analyser la solution :

   • L’expression \(x^{2}\) représente une parabole ouverte vers le haut.
   • \(x^{2}\) est toujours positif ou nul (\(x^{2} \geq 0\)) pour tout réel \(x\).

3. Déterminer les valeurs de \(x\) satisfaisant l’inéquation : \[ x^{2} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = 0 \] Donc, \(x = 0\).

Solution :

\[ \boxed{x = 0} \]

---

2. \(x \geq -x\)

Étapes de résolution :

1. Isoler \(x\) : \[ x \geq -x \] Ajoutons \(x\) des deux côtés : \[ x + x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x \geq 0 \]

2. Résoudre pour \(x\) : \[ 2x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0 \]

Solution :

\[ \boxed{x \geq 0} \]

---

3. \(-x^{2} \leq 2\)

Étapes de résolution :

1. Isoler \(x^{2}\) : \[ -x^{2} \leq 2 \] Multiplions par \(-1\) en rappelant que cela inverse le signe de l’inéquation : \[ x^{2} \geq -2 \]

2. Analyser la solution :

   • \(x^{2}\) est toujours supérieur ou égal à 0.
   • \(x^{2} \geq -2\) est toujours vrai pour tout réel \(x\), car \(x^{2} \geq 0 \geq -2\).

Solution :

\[ \boxed{\text{Tous les réels } x} \]

---

4. \(2x^{2} - 4 \geq x^{2}\)

Étapes de résolution :

1. Simplifier l’inéquation : \[ 2x^{2} - 4 \geq x^{2} \] Soustrayons \(x^{2}\) des deux côtés : \[ 2x^{2} - x^{2} - 4 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^{2} - 4 \geq 0 \]

2. Factoriser : \[ x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Donc : \[ (x - 2)(x + 2) \geq 0 \]

3. Déterminer les intervalles où le produit est positif :

   • Les points critiques sont \(x = -2\) et \(x = 2\).
   • Analysons les signes dans les intervalles :
     • \(x < -2\) : les deux facteurs sont négatifs, le produit est positif.
     • \(-2 < x < 2\) : un facteur est négatif, l’autre positif, le produit est négatif.
     • \(x > 2\) : les deux facteurs sont positifs, le produit est positif.

4. Inclure les points où le produit est nul : \[ x = -2 \quad \text{et} \quad x = 2 \]

Solution :

\[ \boxed{x \leq -2 \quad \text{ou} \quad x \geq 2} \]

---

5. \(x^{3} \geq -1\)

Étapes de résolution :

1. Isoler \(x\) : \[ x^{3} \geq -1 \] Prenons la racine cubique des deux côtés : \[ x \geq \sqrt[3]{-1} \quad \Rightarrow \quad x \geq -1 \]

2. Analyser la fonction cubique :

   • La fonction \(f(x) = x^{3}\) est croissante.
   • Pour \(x \geq -1\), \(f(x) \geq -1\).

Solution :

\[ \boxed{x \geq -1} \]

---

6. \(x^{2} + 1 \geq -x^{2} - 1\)

Étapes de résolution :

1. Simplifier l’inéquation : \[ x^{2} + 1 \geq -x^{2} - 1 \] Ajoutons \(x^{2}\) et ajoutons 1 des deux côtés : \[ x^{2} + x^{2} + 1 + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^{2} + 2 \geq 0 \]

2. Isoler \(x^{2}\) : \[ 2x^{2} + 2 \geq 0 \] Divisons par 2 : \[ x^{2} + 1 \geq 0 \]

3. Analyser la solution :

   • \(x^{2}\) est toujours positif ou nul.
   • Donc, \(x^{2} + 1 \geq 1 > 0\) pour tout réel \(x\).

Solution :

\[ \boxed{\text{Tous les réels } x} \]

Remarque :

Pour résoudre ces inéquations graphiquement, il est utile de tracer les courbes des fonctions concernées et d’identifier les zones où les conditions de l’inéquation sont satisfaites. Toutefois, une analyse algébrique comme celle présentée permet de trouver rapidement les solutions sans avoir besoin de graphiques.

Conclusion

Chaque inéquation a été résolue en isolant \(x\), en simplifiant l’expression et en analysant les solutions possibles. Ces méthodes permettent de comprendre comment les différentes opérations affectent l’inéquation et d’identifier les valeurs de \(x\) qui satisfont les conditions données.