| Équation | Solution 1 | ou | Solution 2 |
|---|---|---|---|
| \(A^{2} - 3A - 4 = 0\) | \(A =\) | ou | \(A =\) |
| \(G^{2} - 6G = 16\) | \(G =\) | ou | \(G =\) |
| \(S^{2} - 15 = -2S\) | \(S =\) | ou | \(S =\) |
| \(R^{2} + R = 5R + 12\) | \(R =\) | ou | \(R =\) |
| \(2D^{2} + 6D - 1 = -1\) | \(D =\) | ou | \(D =\) |
| \(I^{2} + I - 81 = I\) | \(I =\) | ou | \(I =\) |
| \(U^{2} - 2U + 1 = 7 - 3U\) | \(U =\) | ou | \(U =\) |
| \(4E^{2} - 18E - 10 = 0\) | \(E =\) | ou | \(E =\) |
| \(m^{2} + 1 = 2M\) | \(M =\) | ou | \(M =\) |
| \(2N^{2} - 15 = N^{2} + 2N + 20\) | \(N =\) | ou | \(N =\) |
85646049151535798153
Résumé des Solutions :
Nous allons résoudre chacune des équations quadratiques données en suivant une méthode étape par étape adaptée pour un élève de collège.
Étape 1 : Écrire l’équation sous la forme générale
L’équation est déjà sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), où : - \(a = 1\) - \(b = -3\) - \(c = -4\)
Étape 2 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
Le discriminant est donné par : \[ \Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
Comme \(\Delta > 0\), l’équation admet deux solutions réelles : \[ A = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Ainsi, les solutions sont : \[ A_{1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ A_{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Solutions : \[ A = 4 \quad \text{ou} \quad A = -1 \]
Étape 1 : Mettre l’équation sous forme \(ax^2 + bx + c = 0\)
Soustrayons 16 des deux côtés : \[ G^{2} - 6G - 16 = 0 \]
Étape 2 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
\[ \Delta = (-6)^{2} - 4 \times 1 \times (-16) = 36 + 64 = 100 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
\[ G = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} \] Ainsi : \[ G_{1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ G_{2} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Solutions : \[ G = 8 \quad \text{ou} \quad G = -2 \]
Étape 1 : Réorganiser l’équation
Ajoutons \(2S\) des deux côtés : \[ S^{2} + 2S - 15 = 0 \]
Étape 2 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
\[ \Delta = (2)^{2} - 4 \times 1 \times (-15) = 4 + 60 = 64 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
\[ S = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2} \] Ainsi : \[ S_{1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ S_{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Solutions : \[ S = 3 \quad \text{ou} \quad S = -5 \]
Étape 1 : Réorganiser l’équation
Soustrayons \(5R\) et \(12\) des deux côtés : \[ R^{2} + R - 5R - 12 = 0 \implies R^{2} - 4R - 12 = 0 \]
Étape 2 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
\[ \Delta = (-4)^{2} - 4 \times 1 \times (-12) = 16 + 48 = 64 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
\[ R = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \] Ainsi : \[ R_{1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ R_{2} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Solutions : \[ R = 6 \quad \text{ou} \quad R = -2 \]
Étape 1 : Réorganiser l’équation
Ajoutons 1 des deux côtés : \[ 2D^{2} + 6D - 1 + 1 = 0 \implies 2D^{2} + 6D = 0 \]
Étape 2 : Factoriser l’équation
Factorisons par \(2D\) : \[ 2D(D + 3) = 0 \]
Étape 3 : Trouver les solutions
\[ 2D = 0 \implies D = 0 \] \[ D + 3 = 0 \implies D = -3 \]
Solutions : \[ D = 0 \quad \text{ou} \quad D = -3 \]
Étape 1 : Réorganiser l’équation
Soustrayons \(I\) des deux côtés : \[ I^{2} + I - 81 - I = 0 \implies I^{2} - 81 = 0 \]
Étape 2 : Résoudre l’équation
\[ I^{2} = 81 \implies I = \sqrt{81} \quad \text{ou} \quad I = -\sqrt{81} \implies I = 9 \quad \text{ou} \quad I = -9 \]
Solutions : \[ I = 9 \quad \text{ou} \quad I = -9 \]
Étape 1 : Réorganiser l’équation
Ajoutons \(3U\) et soustrayons \(7\) des deux côtés : \[ U^{2} - 2U + 1 + 3U - 7 = 0 \implies U^{2} + U - 6 = 0 \]
Étape 2 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
\[ \Delta = (1)^{2} - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
\[ U = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Ainsi : \[ U_{1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ U_{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Solutions : \[ U = 2 \quad \text{ou} \quad U = -3 \]
Étape 1 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
\[ \Delta = (-18)^{2} - 4 \times 4 \times (-10) = 324 + 160 = 484 \]
Étape 2 : Calculer les solutions
\[ E = \frac{18 \pm \sqrt{484}}{2 \times 4} = \frac{18 \pm 22}{8} \] Ainsi : \[ E_{1} = \frac{18 + 22}{8} = \frac{40}{8} = 5 \] \[ E_{2} = \frac{18 - 22}{8} = \frac{-4}{8} = -0,5 \]
Solutions : \[ E = 5 \quad \text{ou} \quad E = -0,5 \]
Étape 1 : Réorganiser l’équation
Soustrayons \(2M\) des deux côtés : \[ m^{2} + 1 - 2M = 0 \implies m^{2} - 2M + 1 = 0 \]
Cependant, il semble y avoir une confusion entre les variables minuscules \(m\) et majuscules \(M\). Supposons que la variable soit \(M\), alors l’équation devient : \[ M^{2} + 1 = 2M \implies M^{2} - 2M + 1 = 0 \]
Étape 2 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
\[ \Delta = (-2)^{2} - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0 \]
Étape 3 : Calculer la solution unique
\[ M = \frac{2}{2 \times 1} = 1 \]
Solution unique : \[ M = 1 \]
Étape 1 : Réorganiser l’équation
Soustrayons \(N^{2} + 2N + 20\) des deux côtés : \[ 2N^{2} - 15 - N^{2} - 2N - 20 = 0 \implies N^{2} - 2N - 35 = 0 \]
Étape 2 : Calculer le discriminant (\(\Delta\))
\[ \Delta = (-2)^{2} - 4 \times 1 \times (-35) = 4 + 140 = 144 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
\[ N = \frac{2 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{2 \pm 12}{2} \] Ainsi : \[ N_{1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ N_{2} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Solutions : \[ N = 7 \quad \text{ou} \quad N = -5 \]
Message à déchiffrer : \[ 85646049151535798153 \]
Procédure :
Pour déchiffrer ce message, nous allons remplacer chaque chiffre par la lettre correspondante basée sur les solutions obtenues précédemment pour les variables \(A, G, S, R, D, I, U, E, M, N\).
Étape 1 : Associer chaque variable à ses solutions
D’après les solutions obtenues :
| Lettre | Solutions |
|---|---|
| A | 4 ou -1 |
| G | 8 ou -2 |
| S | 3 ou -5 |
| R | 6 ou -2 |
| D | 0 ou -3 |
| I | 9 ou -9 |
| U | 2 ou -3 |
| E | 5 ou -0,5 |
| M | 1 |
| N | 7 ou -5 |
Remarque : Pour le déchiffrement, nous considérerons uniquement les valeurs positives des solutions.
Étape 2 : Créer un tableau de correspondance chiffre-lettre
Basé sur les solutions positives :
| Chiffre | Lettre |
|---|---|
| 1 | M |
| 2 | U |
| 3 | S |
| 4 | A |
| 5 | E |
| 6 | R |
| 7 | N |
| 8 | G |
| 9 | I |
Étape 3 : Remplacer chaque chiffre du message par la lettre correspondante
Le message est : 85646049151535798153
Découpons-le chiffre par chiffre :
| Chiffre | Lettre |
|---|---|
| 8 | G |
| 5 | E |
| 6 | R |
| 4 | A |
| 6 | R |
| 0 | - |
| 4 | A |
| 9 | I |
| 1 | M |
| 5 | E |
| 1 | M |
| 5 | E |
| 3 | S |
| 5 | E |
| 7 | N |
| 9 | I |
| 8 | G |
| 1 | M |
| 5 | E |
| 3 | S |
Interprétation :
Remplaçons les chiffres par les lettres, en ignorants les 0 car ils ne sont pas associés à une lettre dans notre tableau.
Ainsi : \[ 8 \rightarrow G \quad 5 \rightarrow E \quad 6 \rightarrow R \quad 4 \rightarrow A \quad 6 \rightarrow R \quad 0 \rightarrow \text{(ignorer)} \quad 4 \rightarrow A \quad 9 \rightarrow I \quad 1 \rightarrow M \quad 5 \rightarrow E \quad 1 \rightarrow M \quad 5 \rightarrow E \quad 3 \rightarrow S \quad 5 \rightarrow E \quad 7 \rightarrow N \quad 9 \rightarrow I \quad 8 \rightarrow G \quad 1 \rightarrow M \quad 5 \rightarrow E \quad 3 \rightarrow S \]
En les mettant ensemble : \[ G \, E \, R \, A \, R \, A \, I \, M \, E \, M \, E \, S \, E \, N \, I \, G \, M \, E \, S \]
Message déchiffré : \[ GERARAIMEMESENIGMES \]
Interprétation finale : \[ \text{Gérara, je me mets en énigmes.} \]
Cela pourrait signifier que Gérara est prête à poser des énigmes ou qu’il/elle se retrouve dans une situation énigmatique.
Nous avons résolu chaque équation quadratique étape par étape et utilisé les solutions pour déchiffrer le message donné. Cette méthode illustre comment les mathématiques peuvent être appliquées à des tâches pratiques telles que le décryptage de codes.