Exercice 13

Soient les applications \(f\) et \(g\) définies dans \(\mathbb{R}\) par

• \(f: x \mapsto -x^{2} + 4\)
• \(g: x \mapsto 2x + 1\).

Représentez graphiquement ces applications et déterminez les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = g(x)\).

Réponse

Les fonctions \(f(x) = -x² + 4\) et \(g(x) = 2x + 1\) se rencontrent pour \(x = 1\) et \(x = -3\).

Corrigé détaillé

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Comprendre les fonctions données
2. Représenter graphiquement les fonctions \(f\) et \(g\)
3. Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = g(x)\)

1. Comprendre les fonctions données

Nous avons deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) :

• \(f(x) = -x^{2} + 4\) : C’est une fonction polynomiale du second degré, une parabole qui s’ouvre vers le bas (car le coefficient devant \(x^{2}\) est négatif).
• \(g(x) = 2x + 1\) : C’est une fonction linéaire, une droite avec une pente de 2 et une ordonnée à l’origine de 1.

2. Représenter graphiquement les fonctions \(f\) et \(g\)

a. Tracer la parabole \(f(x) = -x^{2} + 4\)

1. Trouver le sommet de la parabole :
   • Pour une parabole de la forme \(f(x) = ax^{2} + bx + c\), le sommet se trouve en \(x = -\frac{b}{2a}\).
   • Ici, \(a = -1\), \(b = 0\), donc \(x = -\frac{0}{2(-1)} = 0\).
   • En remplaçant dans \(f(x)\), le sommet est \((0, 4)\).
2. Trouver les points d’intersection avec les axes :
   • Axe des ordonnées (x = 0) :
     • \(f(0) = -0^{2} + 4 = 4\).
     • Point : \((0, 4)\) (le sommet).
   • Axe des abscisses (f(x) = 0) :
     • Résoudre \(-x^{2} + 4 = 0\) : \[ x^{2} = 4 \] \[ x = \pm 2 \]
     • Points : \((2, 0)\) et \((-2, 0)\).

b. Tracer la droite \(g(x) = 2x + 1\)

1. Trouver l’ordonnée à l’origine :
   • Lorsque \(x = 0\), \(g(0) = 1\).
   • Point : \((0, 1)\).
2. Trouver un autre point :
   • Par exemple, pour \(x = 1\) : \[ g(1) = 2(1) + 1 = 3 \]
     • Point : \((1, 3)\).

c. Tracer les graphes

En utilisant les points trouvés :

• Parabole \(f\) : Tracez une parabole passant par \((0, 4)\), \((2, 0)\) et \((-2, 0)\), s’ouvrant vers le bas.
• Droite \(g\) : Tracez une droite passant par \((0, 1)\) et \((1, 3)\), inclinée vers le haut.

3. Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = g(x)\)

Nous cherchons les solutions de l’équation : \[ f(x) = g(x) \] \[ -x^{2} + 4 = 2x + 1 \]

a. Mettre l’équation sous forme standard

\[ -x^{2} + 4 - 2x - 1 = 0 \] \[ -x^{2} - 2x + 3 = 0 \]

Pour simplifier, multiplions par \(-1\) : \[ x^{2} + 2x - 3 = 0 \]

b. Résoudre l’équation quadratique

Nous allons utiliser la méthode de factorisation.

1. Chercher deux nombres dont le produit est \(-3\) et la somme est \(2\) :

   • Les nombres sont \(3\) et \(-1\).

2. Factoriser l’équation : \[ x^{2} + 3x - x - 3 = 0 \] \[ x(x + 3) -1(x + 3) = 0 \] \[ (x -1)(x + 3) = 0 \]

3. Trouver les solutions : \[ x -1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]

c. Vérification des solutions

Pour \(x = 1\) : \[ f(1) = -1^{2} + 4 = -1 + 4 = 3 \] \[ g(1) = 2(1) + 1 = 3 \] \[ f(1) = g(1) \]

Pour \(x = -3\) : \[ f(-3) = -(-3)^{2} + 4 = -9 + 4 = -5 \] \[ g(-3) = 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \] \[ f(-3) = g(-3) \]

Conclusion

Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = g(x)\) sont : \[ x = 1 \quad \text{et} \quad x = -3 \]

Ces points correspondent aux points d’intersection entre la parabole \(f\) et la droite \(g\) sur le graphique.