Exercice 12

Question : Résous ces équations selon la méthode de ton choix.

1. \(x^{2} - 3x - 4 = 0\)

2. \(4x^{2} + 12x + 9 = 0\)

3. \(x^{2} - 2,5x = 3\)

4. \(x^{2} + 6x - 8 = 0\)

5. \(x^{2} - 7x + 10 = 0\)

6. \(x^{2} - 5 = 0\)

7. \(x^{2} - 6 = 3x\)

8. \(x^{2} - 8x + 15 = 0\)

9. \(10x^{2} + 5x = 0\)

10. \(x^{2} + 10x = -25\)

11. \(x^{2} + 36 = 12x\)

12. \(5x - 12 = -2x^{2}\)

13. \(25x^{2} - 81 = 0\)

14. \(3x^{2} + 8x = -5\)

15. \(3x^{2} - 60 = 0\)

16. \(6x^{2} = 30x\)

17. \(16x^{2} + 8x + 1 = 0\)

18. \(16x^{2} + 8x = 1\)

19. \(x(x + 4) = 2(x + 4)\)

20. \(5x^{2} = 7x - 13\)

Réponse

Réponses :

1. x = 4 ou x = –1
   
2. x = –3/2
   
3. x = (5 ± √73) / 4
   
4. x = –3 ± √17
   
5. x = 5 ou x = 2
   
6. x = √5 ou x = –√5
   
7. x = (3 ± √33) / 2
   
8. x = 3 ou x = 5
   
9. x = 0 ou x = –1/2
   
10. x = –5
    
11. x = 6
    
12. x = 3/2 ou x = –4
    
13. x = 9/5 ou x = –9/5
    
14. x = –1 ou x = –5/3
    
15. x = 2√5 ou x = –2√5
    
16. x = 0 ou x = 5
    
17. x = –1/4
    
18. x = (–1 ± √2) / 4
    
19. x = –4 ou x = 2
    
20. Aucune solution réelle (en ℂ : x = (7 ± i√211) / 10).

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des équations.

────────────────────────────── a) x² – 3x – 4 = 0

1. Cherchons deux nombres dont le produit est –4 et la somme est –3.
     On remarque que –4 × 1 = –4 et (–4 + 1) = –3.

2. On factorise l’équation :
     x² – 3x – 4 = (x – 4)(x + 1) = 0

3. Si un produit est nul, alors l’un des facteurs est nul.
     x – 4 = 0 ou x + 1 = 0

4. On résout chaque équation :
     x = 4 ou x = –1

────────────────────────────── b) 4x² + 12x + 9 = 0

1. Remarquons que 4x² + 12x + 9 est un carré parfait car :
     (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

2. Ainsi, on peut écrire :
     (2x + 3)² = 0

3. Pour que le carré soit nul, il faut que 2x + 3 = 0.
     2x = –3 ⟹ x = –3/2

────────────────────────────── c) x² – 2,5x = 3

1. On écrit l’équation sous forme canonique en ramenant 3 à gauche :
     x² – 2,5x – 3 = 0

2. Afin d’éviter les décimales, on peut multiplier chaque terme par 2 :
     2x² – 5x – 6 = 0

3. Calculons le discriminant (Δ) :
     Δ = (–5)² – 4 × 2 × (–6) = 25 + 48 = 73

4. On applique la formule quadratique :
     x = [5 ± √73] / (2×2) = [5 ± √73] / 4

Les solutions sont donc :
  x = (5 + √73) / 4 et x = (5 – √73) / 4

────────────────────────────── d) x² + 6x – 8 = 0

1. Calculons le discriminant :
     Δ = 6² – 4×1×(–8) = 36 + 32 = 68

2. On simplifie √68 :
     √68 = √(4×17) = 2√17

3. Appliquons la formule :
     x = [–6 ± (2√17)] / 2 = –3 ± √17

Les solutions sont :
  x = –3 + √17 et x = –3 – √17

────────────────────────────── e) x² – 7x + 10 = 0

1. Cherchons deux nombres dont le produit est 10 et la somme est –7.
     –5 et –2 conviennent puisque (–5)×(–2) = 10 et (–5)+(–2) = –7.

2. On factorise :
     x² – 7x + 10 = (x – 5)(x – 2) = 0

3. Nous avons donc :
     x – 5 = 0 ou x – 2 = 0
     d’où x = 5 ou x = 2

────────────────────────────── f) x² – 5 = 0

1. Pour isoler x², on écrit :
     x² = 5

2. La solution est obtenue en extrayant la racine carrée :
     x = √5 ou x = –√5

────────────────────────────── g) x² – 6 = 3x

1. On ramène tous les termes d’un côté de l’équation :
     x² – 3x – 6 = 0

2. Calculons le discriminant :
     Δ = (–3)² – 4×1×(–6) = 9 + 24 = 33

3. On applique la formule :
     x = [3 ± √33] / 2

Les solutions sont :
  x = (3 + √33)/2 et x = (3 – √33)/2

────────────────────────────── h) x² – 8x + 15 = 0

1. Cherchons deux nombres dont le produit est 15 et la somme est –8.
     –3 et –5 conviennent parce que (–3)×(–5) = 15 et (–3)+(–5)= –8.

2. Factorisation :
     x² – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5) = 0

3. On obtient :
     x = 3 ou x = 5

────────────────────────────── i) 10x² + 5x = 0

1. On remarque un facteur commun 5x :
     10x² + 5x = 5x(2x + 1) = 0

2. Pour que le produit soit nul, on a
     5x = 0 ou 2x + 1 = 0

3. On résout chaque équation :
     x = 0 et 2x = –1 ⟹ x = –1/2

────────────────────────────── j) x² + 10x = –25

1. On écrit tous les termes d’un côté :
     x² + 10x + 25 = 0

2. On reconnaît le carré parfait :
     (x + 5)² = 0

3. Donc :
     x + 5 = 0 ⟹ x = –5

────────────────────────────── k) x² + 36 = 12x

1. Ramener tous les termes à gauche :
     x² – 12x + 36 = 0

2. On remarque le carré parfait :
     (x – 6)² = 0

3. Ainsi, x – 6 = 0 ⟹ x = 6

────────────────────────────── l) 5x – 12 = –2x²

1. Mettons l’équation sous forme canonique en ramenant tous les termes à gauche :
     2x² + 5x – 12 = 0

2. Calcul du discriminant :
     Δ = 5² – 4×2×(–12) = 25 + 96 = 121

3. √Δ = 11, ainsi :
     x = [–5 ± 11] / (2×2) = [–5 ± 11]/4

4. Les solutions :
     x = (6)/4 = 3/2 et x = (–16)/4 = –4

────────────────────────────── m) 25x² – 81 = 0

1. Il s’agit d’une différence de deux carrés, car 25x² = (5x)² et 81 = 9².
     25x² – 81 = (5x – 9)(5x + 9) = 0

2. On résout :
     5x – 9 = 0 ⟹ x = 9/5
     5x + 9 = 0 ⟹ x = –9/5

────────────────────────────── n) 3x² + 8x = –5

1. Réécrivons l’équation en ramenant –5 à gauche :
     3x² + 8x + 5 = 0

2. Calcul du discriminant :
     Δ = 8² – 4×3×5 = 64 – 60 = 4

3. Appliquons la formule :
     x = [–8 ± √4] / (2×3) = [–8 ± 2] / 6

4. Les solutions :
     x = (–8 + 2)/6 = –6/6 = –1
     x = (–8 – 2)/6 = –10/6 = –5/3

────────────────────────────── o) 3x² – 60 = 0

1. Ajoutons 60 aux deux côtés :
     3x² = 60

2. Divisons par 3 :
     x² = 20

3. En extrayant la racine carrée :
     x = √20 = 2√5 ou x = –2√5

────────────────────────────── p) 6x² = 30x

1. Réécrivons l’équation :
     6x² – 30x = 0

2. Factorisons le terme commun 6x :
     6x(x – 5) = 0

3. Ainsi :
     6x = 0 ⟹ x = 0
     x – 5 = 0 ⟹ x = 5

────────────────────────────── q) 16x² + 8x + 1 = 0

1. On observe que cette expression est un carré parfait :
     (4x + 1)² = 16x² + 8x + 1

2. Donc :
     (4x + 1)² = 0
     → 4x + 1 = 0 ⟹ x = –1/4

────────────────────────────── r) 16x² + 8x = 1

1. Ramener 1 à gauche pour obtenir la forme canonique :
     16x² + 8x – 1 = 0

2. Calcul du discriminant :
     Δ = 8² – 4×16×(–1) = 64 + 64 = 128
     On simplifie √128 : √128 = √(64×2) = 8√2

3. Appliquons la formule :
     x = [–8 ± 8√2] / (2×16) = [–8 ± 8√2] / 32
     On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 8 :
     x = [–1 ± √2] / 4

Les solutions sont donc :
  x = (–1 + √2)/4 et x = (–1 – √2)/4

────────────────────────────── s) x(x + 4) = 2(x + 4)

1. On remarque que le facteur (x + 4) apparaît dans les deux membres. Avant de le simplifier, vérifions si (x + 4) peut être nul.
     Si x + 4 = 0, alors x = –4 et en remplaçant dans l’équation, on obtient :
     LHS : (–4)(0) = 0 et RHS : 2×0 = 0
     donc l’égalité est vérifiée.   Sinon, pour x ≠ –4, on peut diviser par (x + 4).

2. Pour x ≠ –4, divisons par (x + 4) :
     x = 2

Les solutions sont donc :
  x = –4 et x = 2

────────────────────────────── t) 5x² = 7x – 13

1. Réécrivons l’équation sous forme canonique :
     5x² – 7x + 13 = 0

2. Calculons le discriminant :
     Δ = (–7)² – 4×5×13 = 49 – 260 = –211

3. Comme le discriminant est négatif, il n’existe pas de solution réelle. On peut néanmoins exprimer les solutions dans l’ensemble des nombres complexes.
     On écrit :
     x = [7 ± √(–211)] / (2×5) = [7 ± i√211] / 10

Les solutions dans ℂ sont :
  x = (7 + i√211) / 10 et x = (7 – i√211) / 10

────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :

a) x = 4 ou x = –1
b) x = –3/2
c) x = (5 ± √73) / 4
d) x = –3 ± √17
e) x = 5 ou x = 2
f) x = √5 ou x = –√5
g) x = (3 ± √33) / 2
h) x = 3 ou x = 5
i) x = 0 ou x = –1/2
j) x = –5
k) x = 6
l) x = 3/2 ou x = –4
m) x = 9/5 ou x = –9/5
n) x = –1 ou x = –5/3
o) x = 2√5 ou x = –2√5
p) x = 0 ou x = 5
q) x = –1/4
r) x = (–1 ± √2) / 4
s) x = –4 ou x = 2
t) Dans ℝ, il n’y a pas de solution. Dans ℂ, x = (7 ± i√211)/10

Chaque étape a été détaillée pour montrer la démarche à suivre pour résoudre ces équations.