Question : Résous les équations suivantes.
\(20x = 8 - 4x^{2}\)
\(5x^{2} = 2x + 6\)
\(5x - 12 = 7x^{2}\)
\(5x^{2} + 15x = -10\)
\(-20x + 80 = -2x^{2}\)
\(4x^{2} + 2 = 7x\)
\(-2x^{2} = 2(x + 2)\)
\((x + 2)(5x - 6) = 120\)
\(70x^{2} + 10 = 85x - 25 + 4x^{2}\)
\(4x^{2} = 10 + 28x\)
Solutions : \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2} \]
Solutions : \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{5} \]
Aucune solution réelle.
Solutions : \[ x = -1 \quad \text{et} \quad x = -2 \]
Aucune solution réelle.
Solutions : \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{8} \]
Aucune solution réelle.
Solutions : \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{166}}{5} \]
Aucune solution réelle.
Solutions : \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{59}}{2} \]
Étape 1 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
Pour résoudre l’équation \(20x = 8 - 4x^{2}\), commençons par déplacer tous les termes du côté gauche de l’équation.
\[ 4x^{2} + 20x - 8 = 0 \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Divisons chaque terme par 4 pour simplifier :
\[ x^{2} + 5x - 2 = 0 \]
Étape 3 : Utiliser la formule quadratique
Pour résoudre une équation de la forme \(ax^{2} + bx + c = 0\), la solution est :
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \]
Ici, \(a = 1\), \(b = 5\), et \(c = -2\).
Calculons le discriminant (\(\Delta\)) :
\[ \Delta = b^{2} - 4ac = 25 - 4(1)(-2) = 25 + 8 = 33 \]
Étape 4 : Calculer les solutions
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2} \]
Solutions :
\[ x = \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{et} \quad x = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} \]
Étape 1 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ 5x^{2} - 2x - 6 = 0 \]
Étape 2 : Utiliser la formule quadratique
Avec \(a = 5\), \(b = -2\), et \(c = -6\).
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (-2)^{2} - 4(5)(-6) = 4 + 120 = 124 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{31}}{10} = \frac{1 \pm \sqrt{31}}{5} \]
Solutions :
\[ x = \frac{1 + \sqrt{31}}{5} \quad \text{et} \quad x = \frac{1 - \sqrt{31}}{5} \]
Étape 1 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ 7x^{2} - 5x + 12 = 0 \]
Étape 2 : Calculer le discriminant
Avec \(a = 7\), \(b = -5\), et \(c = 12\).
\[ \Delta = (-5)^{2} - 4(7)(12) = 25 - 336 = -311 \]
Étape 3 : Analyser le discriminant
Le discriminant est négatif (\(\Delta = -311\)), ce qui signifie qu’il n’y a pas de solutions réelles pour cette équation.
Conclusion :
Aucune solution réelle.
Étape 1 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ 5x^{2} + 15x + 10 = 0 \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Divisons chaque terme par 5 :
\[ x^{2} + 3x + 2 = 0 \]
Étape 3 : Factoriser l’équation
\[ (x + 1)(x + 2) = 0 \]
Étape 4 : Trouver les solutions
\[ x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]
Solutions :
\[ x = -1 \quad \text{et} \quad x = -2 \]
Étape 1 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ -2x^{2} + 20x - 80 = 0 \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Multipliant par -1 pour simplifier :
\[ 2x^{2} - 20x + 80 = 0 \]
Divisons chaque terme par 2 :
\[ x^{2} - 10x + 40 = 0 \]
Étape 3 : Calculer le discriminant
Avec \(a = 1\), \(b = -10\), et \(c = 40\).
\[ \Delta = (-10)^{2} - 4(1)(40) = 100 - 160 = -60 \]
Étape 4 : Analyser le discriminant
Le discriminant est négatif (\(\Delta = -60\)), donc il n’y a pas de solutions réelles.
Conclusion :
Aucune solution réelle.
Étape 1 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ 4x^{2} - 7x + 2 = 0 \]
Étape 2 : Utiliser la formule quadratique
Avec \(a = 4\), \(b = -7\), et \(c = 2\).
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (-7)^{2} - 4(4)(2) = 49 - 32 = 17 \]
Étape 3 : Calculer les solutions
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{8} \]
Solutions :
\[ x = \frac{7 + \sqrt{17}}{8} \quad \text{et} \quad x = \frac{7 - \sqrt{17}}{8} \]
Étape 1 : Développer le côté droit de l’équation
\[ -2x^{2} = 2x + 4 \]
Étape 2 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ -2x^{2} - 2x - 4 = 0 \]
Étape 3 : Simplifier l’équation
Multipliant par -1 :
\[ 2x^{2} + 2x + 4 = 0 \]
Divisons chaque terme par 2 :
\[ x^{2} + x + 2 = 0 \]
Étape 4 : Calculer le discriminant
Avec \(a = 1\), \(b = 1\), et \(c = 2\).
\[ \Delta = 1^{2} - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 \]
Étape 5 : Analyser le discriminant
Le discriminant est négatif (\(\Delta = -7\)), donc il n’y a pas de solutions réelles.
Conclusion :
Aucune solution réelle.
Étape 1 : Développer l’équation
\[ (x + 2)(5x - 6) = 120 \]
Développons le produit :
\[ 5x^{2} - 6x + 10x - 12 = 120 \] \[ 5x^{2} + 4x - 12 = 120 \]
Étape 2 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ 5x^{2} + 4x - 132 = 0 \]
Étape 3 : Utiliser la formule quadratique
Avec \(a = 5\), \(b = 4\), et \(c = -132\).
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = 4^{2} - 4(5)(-132) = 16 + 2640 = 2656 \]
Étape 4 : Simplifier la racine carrée
\[ \sqrt{2656} = \sqrt{16 \times 166} = 4\sqrt{166} \]
Étape 5 : Calculer les solutions
\[ x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{166}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{166}}{5} \]
Solutions :
\[ x = \frac{-2 + 2\sqrt{166}}{5} \quad \text{et} \quad x = \frac{-2 - 2\sqrt{166}}{5} \]
Étape 1 : Simplifier l’équation
Regroupons les termes similaires :
\[ 70x^{2} + 10 = 4x^{2} + 85x - 25 \]
Étape 2 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ 70x^{2} - 4x^{2} - 85x + 10 + 25 = 0 \] \[ 66x^{2} - 85x + 35 = 0 \]
Étape 3 : Utiliser la formule quadratique
Avec \(a = 66\), \(b = -85\), et \(c = 35\).
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (-85)^{2} - 4(66)(35) = 7225 - 9240 = -2015 \]
Étape 4 : Analyser le discriminant
Le discriminant est négatif (\(\Delta = -2015\)), donc il n’y a pas de solutions réelles.
Conclusion :
Aucune solution réelle.
Étape 1 : Mettre tous les termes d’un côté de l’équation
\[ 4x^{2} - 28x - 10 = 0 \]
Étape 2 : Simplifier l’équation
Divisons chaque terme par 2 :
\[ 2x^{2} - 14x - 5 = 0 \]
Étape 3 : Utiliser la formule quadratique
Avec \(a = 2\), \(b = -14\), et \(c = -5\).
Calculons le discriminant :
\[ \Delta = (-14)^{2} - 4(2)(-5) = 196 + 40 = 236 \]
Étape 4 : Simplifier la racine carrée
\[ \sqrt{236} = \sqrt{4 \times 59} = 2\sqrt{59} \]
Étape 5 : Calculer les solutions
\[ x = \frac{14 \pm 2\sqrt{59}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{59}}{2} \]
Solutions :
\[ x = \frac{7 + \sqrt{59}}{2} \quad \text{et} \quad x = \frac{7 - \sqrt{59}}{2} \]