Exercice 10

Question : Résous les équations suivantes :

1. \(x^{2} - 5x + 6 = 0\)

2. \(2x^{2} + 3x - 5 = 0\)

3. \(x^{2} + 2x + 4 = 0\)

4. \(5x^{2} - x - 8 = 0\)

5. \(-x^{2} + 3x + 2 = 0\)

6. \(3x^{2} - 6x - 9 = 0\)

7. \(\frac{2x^{2} + 8}{3} = 10\)

8. \(-4x^{2} + 5x - 1 = 0\)

9. \((2x - 3)^{2} = 7\)

10. \(6x^{2} + 11x - 35 = 0\)

Réponse

1. x = 2 ou x = 3
   
2. x = 1 ou x = –5/2
   
3. Aucune solution réelle
   
4. x = (1 + √161)/10 ou x = (1 – √161)/10
   
5. x = (3 + √17)/2 ou x = (3 – √17)/2
   
6. x = 3 ou x = –1
   
7. x = √11 ou x = –√11
   
8. x = 1 ou x = 1/4
   
9. x = (3 + √7)/2 ou x = (3 – √7)/2
   
10. x = –7/2 ou x = 5/3

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des équations pas à pas. Pour chacune, nous expliquerons la technique utilisée (factorisation ou formule quadratique, etc.).

────────────────────────────── a) x² – 5x + 6 = 0

1. Cherchons deux nombres dont le produit est 6 et dont la somme est –5.   • On remarque que (–2) × (–3) = 6 et (–2) + (–3) = –5.
2. On factorise l’équation :   (x – 2)(x – 3) = 0.
3. En appliquant le principe du produit nul, on a :   x – 2 = 0 ou x – 3 = 0.
4. On trouve ainsi les solutions :   x = 2 et x = 3.

────────────────────────────── b) 2x² + 3x – 5 = 0

1. Calculons le discriminant (Δ) à l’aide de la formule Δ = b² – 4ac.   a = 2, b = 3, c = –5.   Δ = 3² – 4 × 2 × (–5) = 9 + 40 = 49.
2. Puisque Δ est positif, il y a deux solutions réelles.
3. La formule quadratique donne :   x = (–b ± √Δ) / (2a)   x = (–3 ± 7) / (2 × 2).
4. Calculons chaque solution :   • Pour le “+” : x = (–3 + 7) / 4 = 4/4 = 1.   • Pour le “–” : x = (–3 – 7) / 4 = –10/4 = –5/2.
5. Les solutions sont :   x = 1 et x = –5/2.

────────────────────────────── c) x² + 2x + 4 = 0

1. Calcul du discriminant :   a = 1, b = 2, c = 4.   Δ = 2² – 4 × 1 × 4 = 4 – 16 = –12.
2. Comme Δ est négatif, l’équation ne possède pas de solutions réelles.   (On peut dire que les solutions sont des nombres complexes, mais pour des exercices de niveau collège, on conclut simplement « aucune solution réelle ».)

────────────────────────────── d) 5x² – x – 8 = 0

1. Calcul du discriminant :   a = 5, b = –1, c = –8.   Δ = (–1)² – 4 × 5 × (–8) = 1 + 160 = 161.
2. Comme Δ > 0, il y a deux solutions réelles.
3. Appliquons la formule quadratique :   x = (–(–1) ± √161) / (2 × 5) = (1 ± √161) / 10.
4. Les solutions sont :   x = (1 + √161) / 10 et x = (1 – √161) / 10.

────────────────────────────── e) –x² + 3x + 2 = 0

1. Pour simplifier, multiplions l’équation par –1 (en n’affectant pas l’ensemble des solutions) :   x² – 3x – 2 = 0.
2. Calcul du discriminant :   a = 1, b = –3, c = –2.   Δ = (–3)² – 4 × 1 × (–2) = 9 + 8 = 17.
3. Utilisons la formule quadratique :   x = (–(–3) ± √17) / (2 × 1) = (3 ± √17) / 2.
4. Les deux solutions sont :   x = (3 + √17) / 2 et x = (3 – √17) / 2.

────────────────────────────── f) 3x² – 6x – 9 = 0

1. Il est possible de simplifier cette équation en divisant chaque terme par 3 :   x² – 2x – 3 = 0.
2. Calcul du discriminant :   a = 1, b = –2, c = –3.   Δ = (–2)² – 4 × 1 × (–3) = 4 + 12 = 16.
3. La formule quadratique donne :   x = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2.
4. On calcule :   • x = (2 + 4) / 2 = 6/2 = 3,   • x = (2 – 4) / 2 = (–2)/2 = –1.
5. Les solutions sont :   x = 3 et x = –1.

────────────────────────────── g) (2x² + 8) / 3 = 10

1. Multiplions chaque côté de l’équation par 3 pour éliminer le dénominateur :   2x² + 8 = 30.
2. Soustrayons 8 à chaque côté :   2x² = 22.
3. Divisons par 2 :   x² = 11.
4. Pour trouver x, nous prenons la racine carrée des deux côtés :   x = √11 ou x = –√11.
5. Les solutions sont :   x = √11 et x = –√11.

────────────────────────────── h) –4x² + 5x – 1 = 0

1. Multiplions par –1 pour faciliter le calcul (cela ne change pas l’ensemble des solutions) :   4x² – 5x + 1 = 0.
2. Calcul du discriminant :   a = 4, b = –5, c = 1.   Δ = (–5)² – 4 × 4 × 1 = 25 – 16 = 9.
3. Appliquons la formule quadratique :   x = (5 ± √9) / (2 × 4) = (5 ± 3) / 8.
4. On obtient :   • x = (5 + 3) / 8 = 8/8 = 1,   • x = (5 – 3) / 8 = 2/8 = 1/4.
5. Les solutions sont :   x = 1 et x = 1/4.

────────────────────────────── i) (2x – 3)² = 7

1. Pour résoudre cette équation, nous prenons la racine carrée des deux côtés :   2x – 3 = √7 ou 2x – 3 = –√7.
2. Dans le premier cas :   2x = 3 + √7 ⟹ x = (3 + √7) / 2.
3. Dans le second cas :   2x = 3 – √7 ⟹ x = (3 – √7) / 2.
4. Les solutions sont :   x = (3 + √7) / 2 et x = (3 – √7) / 2.

────────────────────────────── j) 6x² + 11x – 35 = 0

1. Cherchons deux nombres dont le produit est (6 × –35) = –210 et dont la somme est 11.   On trouve que 21 et –10 satisfont ces conditions (21 × –10 = –210 et 21 + (–10) = 11).
2. Réécrivons le terme 11x en 21x – 10x :   6x² + 21x – 10x – 35 = 0.
3. Factorisons par regroupement :   • Dans les deux premiers termes, on factorise 3x : 3x(2x + 7).   • Dans les deux derniers termes, on factorise –5 : –5(2x + 7).
4. On obtient ainsi :   (2x + 7)(3x – 5) = 0.
5. Appliquons la règle du produit nul :   • 2x + 7 = 0 ⟹ 2x = –7 ⟹ x = –7/2,   • 3x – 5 = 0 ⟹ 3x = 5 ⟹ x = 5/3.
6. Les solutions sont :   x = –7/2 et x = 5/3.

────────────────────────────── Récapitulatif des solutions :

a) x = 2 ou x = 3
b) x = 1 ou x = –5/2
c) Aucune solution réelle
d) x = (1 + √161) / 10 ou x = (1 – √161) / 10
e) x = (3 + √17) / 2 ou x = (3 – √17) / 2
f) x = 3 ou x = –1
g) x = √11 ou x = –√11
h) x = 1 ou x = 1/4
i) x = (3 + √7) / 2 ou x = (3 – √7) / 2
j) x = –7/2 ou x = 5/3

Chacune de ces étapes est présentée de manière détaillée afin de bien comprendre la méthode utilisée.