Question :
Résous les équations suivantes et décris la méthode que tu utilises.
\((x + 3)(x - 7) = 0\)
\(3y(y + 2) = 0\)
\((z - 6)^{2} = 0\)
\(4w(w - 5) = 0\)
Résous ces équations.
\(x^{2} - 5x = 0\)
\(5y^{2} - 9 = 0\)
\(m^{2} - 12m + 36 = 0\)
\(n^{2} + 14n + 49 = 0\)
\(p^{2} = -3p\)
\(16 + z^{2} = 8z\)
\(25w + 25 + 5w^{2} = 0\)
\(-10u - 20 = u^{2}\)
\(3 = 3v^{2}\)
\(x^{2} - 64 = 0\)
\(12y = 3y^{2}\)
\(16x^{2} - 9 = 0\)
Voici le récapitulatif concis des solutions :
1.a) x = –3 et x = 7
1.b) y = 0 et y = –2
1.c) z = 6
1.d) w = 0 et w = 5
2.a) x = 0 et x = 5
2.b) y = (3√5)/5 et y = – (3√5)/5
2.c) m = 6
2.d) n = –7
2.e) p = 0 et p = –3
2.f) z = 4
2.g) w = (–5 + √5)/2 et w = (–5 – √5)/2
2.h) u = –5 + √5 et u = –5 – √5
2.i) v = 1 et v = –1
2.j) x = 8 et x = –8
2.k) y = 0 et y = 4
2.l) x = 3/4 et x = –3/4
Nous allons résoudre chacune des équations étape par étape en expliquant la méthode utilisée.
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1. Résolution des équations sous forme factorisée
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1.a) (x + 3)(x – 7) = 0
Méthode : Lorsque le produit de deux facteurs est égal à 0, l’un des
deux facteurs (ou les deux) doit être égal à 0. • x + 3 = 0 ⟹ x =
–3
• x – 7 = 0 ⟹ x = 7
Ainsi, les solutions sont : x = –3 et x = 7.
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1.b) 3y(y + 2) = 0
Ici, le produit est formé par le facteur 3y et le facteur (y + 2).
• 3y = 0 ⟹ y = 0
• y + 2 = 0 ⟹ y = –2
Les solutions sont donc : y = 0 et y = –2.
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1.c) (z – 6)² = 0
Le carré d’une expression est nul seulement si l’expression elle-même est nulle. • z – 6 = 0 ⟹ z = 6
La solution est : z = 6.
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1.d) 4w(w – 5) = 0
On applique la propriété du produit nul : • 4w = 0 ⟹ w = 0
• w – 5 = 0 ⟹ w = 5
Les solutions sont : w = 0 et w = 5.
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2. Résolution d’équations à mettre sous forme canonique ou
factoriser
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2.a) x² – 5x = 0
On peut factoriser en mettant x en facteur commun. • x(x – 5) =
0
D’après la propriété du produit nul : • x = 0
• x – 5 = 0 ⟹ x = 5
Il en résulte : x = 0 et x = 5.
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2.b) 5y² – 9 = 0
Isolons y² : • 5y² = 9 ⟹ y² = 9/5
Ensuite, en prenant la racine carrée (n’oublions pas le ±) : • y =
±√(9/5) = ± (3/√5)
Pour obtenir une forme rationnalisée, on peut multiplier par √5 : • y =
± (3√5)/5
Les solutions sont : y = (3√5)/5 et y = – (3√5)/5.
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2.c) m² – 12m + 36 = 0
On remarque que cette expression est le développement du carré de (m
– 6) : • (m – 6)² = 0
D’où : • m – 6 = 0 ⟹ m = 6
La solution est : m = 6 (double solution).
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2.d) n² + 14n + 49 = 0
Même principe : cette équation se reconnaît comme le carré de (n + 7)
: • (n + 7)² = 0
Ainsi : • n + 7 = 0 ⟹ n = –7
La solution est : n = –7.
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2.e) p² = –3p
Réorganisons l’équation en ramenant tous les termes d’un côté : • p²
+ 3p = 0
Puis, factorisons p en commun : • p(p + 3) = 0
Appliquons la propriété du produit nul : • p = 0
• p + 3 = 0 ⟹ p = –3
Les solutions sont : p = 0 et p = –3.
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2.f) 16 + z² = 8z
Réécrivons l’équation sous forme standard en rassemblant tous les
termes d’un côté : • z² – 8z + 16 = 0
On reconnaît que c’est le carré de (z – 4) : • (z – 4)² = 0
Donc, z – 4 = 0 ⟹ z = 4
La solution est : z = 4.
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2.g) 25w + 25 + 5w² = 0
Réorganisons l’équation dans l’ordre décroissant et factorisons si
possible : • 5w² + 25w + 25 = 0
Divisons toute l’équation par 5 pour simplifier (la division par un
nombre non nul ne modifie pas les solutions) : • w² + 5w + 5 = 0
Il s’agit ici d’une équation du second degré dont le discriminant (Δ)
est :
Δ = 5² – 4×1×5 = 25 – 20 = 5
Alors, les solutions sont données par la formule :
w = [–5 ± √5] / 2
Les solutions sont donc : w = (–5 + √5) / 2 et w = (–5 – √5) / 2.
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2.h) –10u – 20 = u²
Réécrivons l’équation sous forme standard en ramenant tous les termes
d’un côté : • u² + 10u + 20 = 0
Calculons le discriminant : Δ = 10² – 4×1×20 = 100 – 80 = 20
Les solutions sont alors :
u = [–10 ± √20] / 2
Notons que √20 peut s’écrire 2√5, ainsi :
u = [–10 ± 2√5] / 2 = –5 ± √5
Les solutions sont : u = –5 + √5 et u = –5 – √5.
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2.i) 3 = 3v²
Divisons chaque côté de l’équation par 3 : • 1 = v²
D’où, en prenant la racine carrée :
• v = ±1
Les solutions sont : v = 1 et v = –1.
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2.j) x² – 64 = 0
Il s’agit d’une différence de deux carrés car 64 = 8². On peut écrire
: • (x – 8)(x + 8) = 0
Ainsi : • x – 8 = 0 ⟹ x = 8
• x + 8 = 0 ⟹ x = –8
Les solutions sont : x = 8 et x = –8.
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2.k) 12y = 3y²
Réorganisons l’équation en ramenant tous les termes d’un côté :
• 3y² – 12y = 0
Factorisons 3y : • 3y(y – 4) = 0
Par la propriété du produit nul : • 3y = 0 ⟹ y = 0
• y – 4 = 0 ⟹ y = 4
Les solutions sont : y = 0 et y = 4.
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2.l) 16x² – 9 = 0
Ceci est encore une différence de deux carrés car 16x² = (4x)² et 9 =
3². Ainsi, on peut factoriser : • (4x – 3)(4x + 3) = 0
On a alors : • 4x – 3 = 0 ⟹ 4x = 3 ⟹ x = 3/4
• 4x + 3 = 0 ⟹ 4x = –3 ⟹ x = –3/4
Les solutions sont : x = 3/4 et x = –3/4.
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Récapitulatif des réponses :
1.a) x = –3 et x = 7
1.b) y = 0 et y = –2
1.c) z = 6
1.d) w = 0 et w = 5
2.a) x = 0 et x = 5
2.b) y = (3√5)/5 et y = – (3√5)/5
2.c) m = 6
2.d) n = –7
2.e) p = 0 et p = –3
2.f) z = 4
2.g) w = (–5 + √5)/2 et w = (–5 – √5)/2
2.h) u = –5 + √5 et u = –5 – √5
2.i) v = 1 et v = –1
2.j) x = 8 et x = –8
2.k) y = 0 et y = 4
2.l) x = 3/4 et x = –3/4
Chaque équation a été résolue en appliquant des méthodes classiques telles que la mise en facteur, la reconnaissance de carrés parfaits, et l’utilisation de la formule quadratique pour les équations du second degré. Ces méthodes permettent une résolution claire et pas à pas adaptée à des élèves de collège.