Question : Résoudre les équations suivantes :
\(x^{2} - 4 = 12\)
\(9 - x^{2} = 0\)
\(x^{2} + 8 = 5\)
\(3x^{2} = 27\)
\(7 + 3x^{2} = 34\)
\(5x^{2} - 2 = 4x^{2} + 18\)
Résumé des solutions :
Étape 1 : Isoler le terme en \(x^{2}\)
Commencez par ajouter 4 des deux côtés de l’équation pour se débarrasser du -4.
\[ x^{2} - 4 + 4 = 12 + 4 \]
\[ x^{2} = 16 \]
Étape 2 : Calculer la racine carrée des deux côtés
Pour trouver \(x\), prenez la racine carrée de chaque côté de l’équation.
\[ x = \sqrt{16} \]
\[ x = \pm 4 \]
Solution :
\[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -4 \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x^{2}\)
Soustrayez 9 des deux côtés de l’équation.
\[ 9 - x^{2} - 9 = 0 - 9 \]
\[ -x^{2} = -9 \]
Étape 2 : Multiplier par -1 pour simplifier
\[ x^{2} = 9 \]
Étape 3 : Calculer la racine carrée des deux côtés
\[ x = \sqrt{9} \]
\[ x = \pm 3 \]
Solution :
\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3 \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x^{2}\)
Soustrayez 8 des deux côtés de l’équation.
\[ x^{2} + 8 - 8 = 5 - 8 \]
\[ x^{2} = -3 \]
Étape 2 : Analyser la solution
Dans les nombres réels, une équation de la forme \(x^{2} = -a\) (avec \(a > 0\)) n’a pas de solution, car le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul.
Solution :
\[ \text{Il n'y a pas de solution dans les nombres réels.} \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x^{2}\)
Divisez les deux côtés de l’équation par 3.
\[ \frac{3x^{2}}{3} = \frac{27}{3} \]
\[ x^{2} = 9 \]
Étape 2 : Calculer la racine carrée des deux côtés
\[ x = \sqrt{9} \]
\[ x = \pm 3 \]
Solution :
\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3 \]
Étape 1 : Isoler le terme en \(x^{2}\)
Soustrayez 7 des deux côtés de l’équation.
\[ 7 + 3x^{2} - 7 = 34 - 7 \]
\[ 3x^{2} = 27 \]
Étape 2 : Diviser par 3 pour simplifier
\[ x^{2} = 9 \]
Étape 3 : Calculer la racine carrée des deux côtés
\[ x = \sqrt{9} \]
\[ x = \pm 3 \]
Solution :
\[ x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3 \]
Étape 1 : Regrouper les termes en \(x^{2}\) d’un côté
Soustrayez \(4x^{2}\) des deux côtés.
\[ 5x^{2} - 4x^{2} - 2 = 18 \]
\[ x^{2} - 2 = 18 \]
Étape 2 : Isoler le terme en \(x^{2}\)
Ajoutez 2 des deux côtés de l’équation.
\[ x^{2} = 20 \]
Étape 3 : Calculer la racine carrée des deux côtés
\[ x = \sqrt{20} \]
Simplifiez la racine carrée :
\[ x = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \]
Solution :
\[ x = 2\sqrt{5} \quad \text{ou} \quad x = -2\sqrt{5} \]