Résoudre ces équations :
\(3x^{2} + 7x + 1 = 1 - 5x\)
\(2x^{2} + x - 5 = 2x - 5\)
\(16x^{2} - 12x + 5 = 12x - 4\)
\(x^{2} - 8x - 2 = -3x^{2} - 6\)
\(-x^{2} + 2x + 4 = 7x - 2x^{2}\)
\(4x^{2} - 9x + 4 = 1 - x\)
Équation : \(3x^{2} + 7x + 1 = 1 - 5x\)
Étapes de résolution :
Rassembler tous les termes du même côté de l’équation :
\[ 3x^{2} + 7x + 1 - 1 + 5x = 0 \]
Ce qui simplifie à :
\[ 3x^{2} + 12x = 0 \]
Factoriser l’expression :
\[ 3x^{2} + 12x = 3x(x + 4) = 0 \]
Appliquer le principe du produit nul :
\[ 3x = 0 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0 \]
Résoudre pour \(x\) :
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -4 \]
Solution : \(x = 0\) ou \(x = -4\)
Équation : \(2x^{2} + x - 5 = 2x - 5\)
Étapes de résolution :
Simplifier l’équation en soustrayant \(2x - 5\) des deux côtés :
\[ 2x^{2} + x - 5 - 2x + 5 = 0 \]
Ce qui donne :
\[ 2x^{2} - x = 0 \]
Factoriser l’expression :
\[ 2x^{2} - x = x(2x - 1) = 0 \]
Appliquer le principe du produit nul :
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad 2x - 1 = 0 \]
Résoudre pour \(x\) :
\[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{1}{2} \]
Solution : \(x = 0\) ou \(x = \frac{1}{2}\)
Équation : \(16x^{2} - 12x + 5 = 12x - 4\)
Étapes de résolution :
Rassembler tous les termes du même côté de l’équation :
\[ 16x^{2} - 12x + 5 - 12x + 4 = 0 \]
Ce qui simplifie à :
\[ 16x^{2} - 24x + 9 = 0 \]
Utiliser la formule du discriminant pour résoudre une équation quadratique :
L’équation est de la forme \(ax^{2} + bx + c = 0\), avec \(a = 16\), \(b = -24\), \(c = 9\).
\[ \Delta = b^{2} - 4ac = (-24)^{2} - 4 \times 16 \times 9 = 576 - 576 = 0 \]
Calculer les racines :
Lorsque \(\Delta = 0\), il y a une seule solution double :
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \]
Solution : \(x = \frac{3}{4}\)
Équation : \(x^{2} - 8x - 2 = -3x^{2} - 6\)
Étapes de résolution :
Rassembler tous les termes du même côté de l’équation :
\[ x^{2} - 8x - 2 + 3x^{2} + 6 = 0 \]
Cela donne :
\[ 4x^{2} - 8x + 4 = 0 \]
Simplifier l’équation en divisant par 4 :
\[ x^{2} - 2x + 1 = 0 \]
Factoriser :
\[ x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2} = 0 \]
Résoudre pour \(x\) :
\[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
Solution : \(x = 1\)
Équation : \(-x^{2} + 2x + 4 = 7x - 2x^{2}\)
Étapes de résolution :
Rassembler tous les termes du même côté de l’équation :
\[ -x^{2} + 2x + 4 -7x + 2x^{2} = 0 \]
Ce qui simplifie à :
\[ x^{2} -5x +4 = 0 \]
Factoriser l’équation :
Nous cherchons deux nombres dont le produit est \(4\) et la somme est \(-5\).
Ces nombres sont \(-1\) et \(-4\).
\[ x^{2} -5x +4 = (x -1)(x -4) = 0 \]
Appliquer le principe du produit nul :
\[ x -1 = 0 \quad \text{ou} \quad x -4 = 0 \]
Résoudre pour \(x\) :
\[ x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 4 \]
Solution : \(x = 1\) ou \(x = 4\)
Équation : \(4x^{2} - 9x + 4 = 1 - x\)
Étapes de résolution :
Rassembler tous les termes du même côté de l’équation :
\[ 4x^{2} - 9x + 4 -1 +x = 0 \]
Ce qui donne :
\[ 4x^{2} -8x +3 =0 \]
Utiliser la formule du discriminant :
L’équation est de la forme \(ax^{2} + bx + c =0\), avec \(a=4\), \(b=-8\), \(c=3\).
\[ \Delta = b^{2} -4ac = (-8)^{2} -4 \times 4 \times 3 = 64 - 48 = 16 \]
Calculer les racines :
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8} \]
Donc :
\[ x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Solution : \(x = \frac{3}{2}\) ou \(x = \frac{1}{2}\)