Trouver deux nombres tels que :
Pour résoudre les exercices, on établit d’abord les équations \(x + y = S\) et \(x \cdot y = P\). Ensuite, on forme l’équation quadratique \(t^2 - St + P = 0\) et calcule le discriminant \(\Delta = S^2 - 4P\). Enfin, on détermine les racines de l’équation, qui correspondent aux deux nombres recherchés.
Nous allons résoudre chaque paire d’équations pour trouver les deux nombres recherchés. Pour chaque problème, nous utiliserons les propriétés suivantes des équations quadratiques.
Lorsque nous devons trouver deux nombres dont la somme et le produit sont connus, nous pouvons utiliser la méthode suivante :
Définir les équations : \[ \begin{cases} x + y = S \\ x \cdot y = P \end{cases} \] où \(S\) est la somme et \(P\) est le produit des deux nombres.
Formuler l’équation quadratique : \[ t^2 - S t + P = 0 \] Cette équation peut être résolue pour trouver les valeurs de \(t\) qui représentent les deux nombres recherchés.
Résoudre l’équation quadratique : Utiliser la formule du discriminant \(\Delta = S^2 - 4P\) pour déterminer les racines de l’équation : \[ t = \frac{S \pm \sqrt{\Delta}}{2} \]
Passons maintenant à la résolution de chaque problème.
Écrire l’équation quadratique : \[ t^2 - (-7)t + 10 = 0 \\ t^2 + 7t + 10 = 0 \]
Calculer le discriminant : \[ \Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \]
Calculer les racines : \[ t = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2} \]
Trouver les valeurs de \(t\) : \[ t_1 = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \\ t_2 = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Les deux nombres sont -2 et -5.
Écrire l’équation quadratique : \[ t^2 - 8t - 9 = 0 \]
Calculer le discriminant : \[ \Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]
Calculer les racines : \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} \]
Trouver les valeurs de \(t\) : \[ t_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \\ t_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Les deux nombres sont 9 et -1.
Écrire l’équation quadratique : \[ t^2 - (-2)t - 8 = 0 \\ t^2 + 2t - 8 = 0 \]
Calculer le discriminant : \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Calculer les racines : \[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Trouver les valeurs de \(t\) : \[ t_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ t_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
Les deux nombres sont 2 et -4.
Écrire l’équation quadratique : \[ t^2 - (-8)t + 15 = 0 \\ t^2 + 8t + 15 = 0 \]
Calculer le discriminant : \[ \Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
Calculer les racines : \[ t = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2} \]
Trouver les valeurs de \(t\) : \[ t_1 = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \\ t_2 = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Les deux nombres sont -3 et -5.
Écrire l’équation quadratique : \[ t^2 - 14t + 48 = 0 \]
Calculer le discriminant : \[ \Delta = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \]
Calculer les racines : \[ t = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2} \]
Trouver les valeurs de \(t\) : \[ t_1 = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \\ t_2 = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]
Les deux nombres sont 8 et 6.
Écrire l’équation quadratique : \[ t^2 - 11t + 24 = 0 \]
Calculer le discriminant : \[ \Delta = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]
Calculer les racines : \[ t = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{11 \pm 5}{2} \]
Trouver les valeurs de \(t\) : \[ t_1 = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \\ t_2 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Les deux nombres sont 8 et 3.
Pour résoudre ce type de problèmes, il est essentiel de :
Cette méthode permet de trouver de manière systématique les deux nombres en utilisant des outils algébriques simples.