Exercice 1

Résoudre les équations suivantes :

1. \(2x^{2} = 6x\)

2. \(5x = 3x^{2}\)

3. \(9x^{2} + 4 = -12x\)

4. \(25x^{2} = 10x - 1\)

5. \(x^{2} + 12x = 7x\)

6. \(x^{2} = 12x - 4x\)

Réponse

Solutions des équations :

1. \(x = 0\) ou \(x = 3\)
2. \(x = 0\) ou \(x = \frac{5}{3}\)
3. \(x = -\frac{2}{3}\)
4. \(x = \frac{1}{5}\)
5. \(x = 0\) ou \(x = -5\)
6. \(x = 0\) ou \(x = 8\)

Corrigé détaillé

Correction des équations

1) \(2x^{2} = 6x\)

Étapes de résolution :

1. Mettre l’équation sous la forme standard :

   \(2x^{2} - 6x = 0\)

2. Factoriser le membre de gauche :

   \(2x(x - 3) = 0\)

3. Appliquer le principe du produit nul :

   \(2x = 0\) ou \(x - 3 = 0\)

4. Résoudre chaque équation :

   • \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\)
   • \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

Solutions :

\(x = 0\) ou \(x = 3\)

---

2) \(5x = 3x^{2}\)

Étapes de résolution :

1. Mettre l’équation sous la forme standard :

   \(3x^{2} - 5x = 0\)

2. Factoriser le membre de gauche :

   \(x(3x - 5) = 0\)

3. Appliquer le principe du produit nul :

   \(x = 0\) ou \(3x - 5 = 0\)

4. Résoudre chaque équation :

   • \(x = 0\)
   • \(3x - 5 = 0 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\)

Solutions :

\(x = 0\) ou \(x = \frac{5}{3}\)

---

3) \(9x^{2} + 4 = -12x\)

Étapes de résolution :

1. Mettre l’équation sous la forme standard :

   \(9x^{2} + 12x + 4 = 0\)

2. Calculer le discriminant \(\Delta\) :

   \(\Delta = b^{2} - 4ac = (12)^{2} - 4 \times 9 \times 4 = 144 - 144 = 0\)

3. Trouver la solution double :

   \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \times 9} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}\)

Solution unique :

\(x = -\frac{2}{3}\)

---

4) \(25x^{2} = 10x - 1\)

Étapes de résolution :

1. Mettre l’équation sous la forme standard :

   \(25x^{2} - 10x + 1 = 0\)

2. Calculer le discriminant \(\Delta\) :

   \(\Delta = b^{2} - 4ac = (-10)^{2} - 4 \times 25 \times 1 = 100 - 100 = 0\)

3. Trouver la solution double :

   \(x = \frac{-b}{2a} = \frac{10}{2 \times 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}\)

Solution unique :

\(x = \frac{1}{5}\)

---

5) \(x^{2} + 12x = 7x\)

Étapes de résolution :

1. Mettre l’équation sous la forme standard :

   \(x^{2} + 12x - 7x = 0\)

   Simplification :

   \(x^{2} + 5x = 0\)

2. Factoriser le membre de gauche :

   \(x(x + 5) = 0\)

3. Appliquer le principe du produit nul :

   \(x = 0\) ou \(x + 5 = 0\)

4. Résoudre chaque équation :

   • \(x = 0\)
   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

Solutions :

\(x = 0\) ou \(x = -5\)

---

6) \(x^{2} = 12x - 4x\)

Étapes de résolution :

1. Simplifier le membre de droite :

   \(12x - 4x = 8x\)

   Donc, l’équation devient :

   \(x^{2} = 8x\)

2. Mettre l’équation sous la forme standard :

   \(x^{2} - 8x = 0\)

3. Factoriser le membre de gauche :

   \(x(x - 8) = 0\)

4. Appliquer le principe du produit nul :

   \(x = 0\) ou \(x - 8 = 0\)

5. Résoudre chaque équation :

   • \(x = 0\)
   • \(x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8\)

Solutions :

\(x = 0\) ou \(x = 8\)