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Difficulté : 65/100
On considère la formule de résolution des équations de degré 2 de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, où les deux solutions peuvent être exprimées comme suit :
$$ G = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. $$
En décomposant cette formule, on pose :
$$ G_1 = \frac{-b}{2a}, \quad G_2 = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. $$
| Équation | $ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $ | $ x^2 - 2x + 1 = 0 $ | $ -x^2 + 5x = 0 $ |
|:------------------------------------:|:----------------------:|:---------------------:|:----------------:|
| $ G_1 $ | | | |
| Discriminant | | | |
| $ G_2 $ | | | |
| Solution 1 $ G_1 + G_2 $ | | | |
| Solution 2 $ G_1 - G_2 $ | | | |
| Abscisse de l'axe de symétrie | | | |
On considère la fonction suivante :
$$ h(x) = \lvert x - 4 \rvert. $$
$ h(7) = ? $
Trouvez $x$ tel que $h(x) = 2$.
Construisez un heptagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 5 cm.
Calculez la mesure des angles suivants pour la figure ci-dessous :
$$ \delta = ?, \quad \gamma = ?, \quad \theta = ? $$
Déterminez si le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.
Pour la figure ci-dessous, calculez les mesures des angles $\theta$ et $\gamma$, en sachant que $j$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{XYZ}$ et $k$ est la médiatrice du segment $XZ$.
Difficulté : 45/100
Calculez la solution de l'équation suivante : $2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Difficulté : 70/100
Associez chaque équation à sa solution, puis complétez en indiquant si celle-ci a des solutions réelles et combien.
Difficulté : 50/100
a) $(x-5)(x+2)=0$
b) $(x-3)^2=0$
c) $(x+6)^2=0$
d) $2x(x-4)=0$
e) $(x-7)(x+7)=0$
f) $x(4x-1)=0$
a) $x=3$ et $x=-2$
b) $x=-6$ et $x=6$
c) $x=\sqrt{3}$ et $x=-\sqrt{3}$
d) $x=\frac{3}{8}$ et $x=-\frac{3}{8}$
e) $x=12$ uniquement
f) $x=0$ uniquement
g) Aucun nombre réel.
Difficulté : 55/100
a) $2x(x+3) = 0$
b) $(y-7)(y+7) = 0$
c) $(x+6)^{2} = 0$
d) $x(3x-2) = 0$
a) $x^{2} + 5x = 0$
b) $9x^{2} - 4 = 0$
c) $y^{2} - 8y + 16 = 0$
d) $z^{2} + 6z + 9 = 0$
e) $x^{2} = 3x$
f) $4 + y^{2} = 4y$
g) $25z + 5 + z^{2} = 0$
h) $-6y - 12 = y^{2}$
i) $1 = x^{2}$
j) $y^{2} - 16 = 0$
k) $5x = x^{2}$
l) $16z^{2} - 9 = 0$
Difficulté : 72/100
Résous les équations suivantes :
a) $5x^{2} + 14x = -8$
b) $x^{2} = 7x + 18$
c) $2x + 6 = 3x^{2}$
d) $8x^{2} - 9x = -3$
e) $10x - 25 = -3x^{2}$
f) $2.1x^{2} + 3.6x = 7.5$
g) $x^{2} = 2(x - 4)$
h) $(x - 3)(2x + 4) = 30$
i) $9x^{2} - 13 = 50x - 6x^{2}$
j) $4x^{2} = 12 + 7x$
Difficulté : 60/100
Résous les équations suivantes en choisissant la méthode la plus appropriée.
a) $ 3x^{2} + 6x = 0 $
b) $ x^{2} - 8x + 15 = 0 $
c) $ -4 = 5x^{2} $
d) $ x^{2} - x = 6 $
e) $ x^{2} + 16 = 8x $
f) $ 3x^{2} - 15x + 25 = x^{2} $
g) $ x^{2} = -49 $
h) $ 5x^{2} + 8x = 4x + 3x^{2} $
i) $ 10 - 10x = -2x^{2} $
j) $ 4x^{2} = 16x + 64 $
Difficulté : 70/100
Marie : «Je pense à deux nombres. Leur produit est 15.»
Paul : «C'est intriguant. Donne-moi plus de détails.»
Marie : «La somme de ces nombres est 8.»
Paul : «Je commence à comprendre.»
Marie : «L'un d'eux est positif et l'autre est négatif.»
Quels sont ces deux nombres ?
Difficulté : 70/100
Parmi les nombres suivants, lesquels sont solutions de l'équation $3y^2 + 2y - 8 = 0$ ?
$-2$, $-1$, $1$, $ rac{4}{3}$, $3$
Difficulté : 60/100
On considère les trois équations suivantes : $x^2 + 2x - 3 = 0$, $x^2 - 8x + 16 = 0$, $-3x^2 + 6x = 0$. Complétez le tableau avec les caractéristiques suivantes pour chacune : discriminant, premières solutions, axes de symétrie.
| Équation | $x^2 + 2x - 3 = 0$ | $x^2 - 8x + 16 = 0$ | $-3x^2 + 6x = 0$ |
|-----------------------------|--------------------|---------------------|-----------------|
| Discriminant ($\Delta$) | | | |
| Solution 1 ($x_1$) | | | |
| Solution 2 ($x_2$) | | | |
| Axe de symétrie | | | |
Analyser le rôle du discriminant dans la détermination du nombre de solutions réelles des équations.
Qu'implique un discriminant nul à l'égard du graphe de la parabole représentative de l'équation ?
Étudiez le cas particulier des discriminants négatifs sur le domaine des solutions complexes.
On considère $f(x) = |x| - x^2$.
Trouver $f(-2)$ et résoudre $f(x) = 0$. Expliquez comment ces résultats influencent l'interprétation graphique de $f(x)$.
Créez une esquisse approximative de la courbe représentative de $f(x)$ et interprétez la gamme des valeurs de $x$ où $f(x) > 0$.
Montrer si le triangle $ABC$ est rectangle en utilisant ses côtés $a$, $b$, et $c$. Justifiez chaque étape par une relation connue.
Calculez l'aire d'un quadrilatère inscrit dans un cercle donné si ses diagonales mesurent $12$ cm et $16$ cm et sont perpendiculaires.
Difficulté : 40/100
Une parcelle de terrain rectangulaire a une aire totale de $ 72 \ \mathrm{m}^2 $. Un côté est 4 fois plus long que l'autre. Quelles sont les dimensions de la parcelle?
Difficulté : 70/100
a) $ 3x^2 + 5x - 2 = 0 $
b) $ 2y^3 - 3y^2 + y = 0 $
c) $ 4z^2 + 8z + 4 = 0 $
d) $ t^4 - 2t^3 + t^2 = 0 $
e) $ 6p^3 + 2p - 10 = 0 $
f) $ k^2 - 9k + 14 = 0 $
g) $ m^3 - 5m^2 + 8m - 4 = 0 $
h) $ 2n^3 + 7n^2 - 3n - 6 = 0 $
Calculez les solutions ensemble.
Difficulté : 55/100
Dans un rectangle, calcule la largeur sachant que la longueur mesure 10 cm de plus que la largeur et que leur produit vaut 150 cm².
Difficulté : 65/100
Résous les équations suivantes :
a) $ (x + 2)(x - 2) = (x + 3)^2 $
b) $ (y + 5)(y - 6) = 0 $
c) $ 3m^2 - 3 = 3(m^2 - 1) $
d) $ x^2 - 16 = 0 $
e) $ 7x^2 + 7 + 28x = 35 + 7x^2 $
f) $ m^2 - 6m = m^2 $
g) $ 0 = 4(y - 5)^2 - 100 $
h) $ 3x^2 = 3(x + 5)^2 $
i) $ (z - 2)^2 = z^2 - 4z + 4 $
j) $ 4x^2 - 8x + 4 = 0 $
k) $ 10u + 20 = 5u - u^2 $
l) $ \frac{x^2}{3} - 2x = \frac{x^2}{3} - 3 $
Difficulté : 63/100
L'aire d'un rectangle est de $90 \mathrm{~cm}^2$ et son périmètre est de $50 \mathrm{~cm}$. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
Difficulté : 40/100
Calculez les solutions des équations quadratiques suivantes en indiquant, pour chaque cas, si elles possèdent 2 racines réelles distinctes, une racine réelle double, ou aucune racine réelle :
Difficulté : 48/100
Une salle mesure $15 \, \text{m}^2$. On sait que c'est un rectangle dont le côté le plus long est le double de la longueur du côté le plus court. Déterminez les dimensions de cette salle.
Difficulté : 50/100
Marie choisit un nombre. Elle ajoute 12 à ce nombre et obtient 24. Quel nombre Marie a-t-elle choisi ?
Paul choisit un nombre, le multiplie par lui-même, puis soustrait 6 fois ce nombre. Il obtient zéro. Quel(s) nombre(s) Paul peut-il avoir choisi(s) ?
Julie doit résoudre les équations suivantes :
a) $x^2 + 6x + 9 = 0$
b) $x^2 - 25 = 0$
c) $2x^2 - x - 15 = 0$
Aide-la, si possible, à résoudre chaque équation.
Difficulté : 65/100
Parmi les nombres suivants, déterminez ceux qui sont solutions de l'équation $3x^2 + 2x - 8 = 0$. Si c'est le cas, identifiez-les dans votre réponse.
$-4$
$-2$
$ rac{1}{3}$
$1$
$2$
Difficulté : 68/100
Résous les équations suivantes :
a) $x^{2} - 6x - 160 = 0$
b) $4x^{2} + x - 15 = 0$
c) $2x^{2} - 8x + 8 = 0$
d) $5x^{2} - 3x + 1 = 0$
e) $-x^{2} + 2x - 5 = 0$
f) $6x^{2} + 9x + 3 = 0$
g) $\frac{x^{2} - 8x}{6} = 10$
h) $-2x^{2} + x + 7 = 0$
i) $(x + 2)^{2} = -5$
j) $7x^{2} - 3x + 2 = 0$
Difficulté : 58/100
Résous les équations suivantes en utilisant tes compétences en algèbre :
a) $x^{2} - 3x + 2 = 0$
b) $16x^{2} - 8x + 1 = 0$
c) $x^{2} + 4x = -3$
d) $x^{2} - 4x - 12 = 0$
e) $x^{2} + 2x - 8 = 0$
f) $x^{2} + 1 = 0$
g) $x^{2} + 4 = 4x$
h) $x^{2} + 6x - 16 = 0$
i) $8x^{2} - 2x = 0$
j) $x^{2} - 8x = -15$
k) $x^{2} + 81 = 18x$
l) $3x + 9 = -2x^{2}$
m) $25x^{2} - 49 = 0$
n) $3x^{2} + 7x = -2$
o) $3x^{2} - 72 = 0$
p) $10x^{2} = 35x$
q) $4x^{2} + 4x + 1 = 0$
r) $3x^{2} + x = 2$
s) $x(x + 4) = 2(x + 4)$
t) $9x^{2} = 12x - 20$
Difficulté : 48/100
Évariste Galois, mathématicien français du XIXe siècle, résolvait l'équation $x^2 + 6x = 16$ de la manière suivante :
Il considérait un carré de côté $x$.
Autour de ce carré, il ajoutait quatre rectangles de dimensions $x$ et $1.5$ (car 1.5 est le quart de 6).
Finalement, il complétait le dessin pour obtenir un grand carré.
En écrivant l'aire de ce grand carré de deux façons distinctes, il déterminait la valeur positive de $x$.
Expliquez comment il obtenait la solution.
Difficulté : 75/100
On élève un nombre au carré et on obtient 9. Quels sont les nombres qui vérifient cette affirmation ?
On considère l'équation $x^2 = 9$ :
a) Représente graphiquement les fonctions $h$ et $k$ définies par $h(x) = x^2$ et $k(x) = 9$.
b) En utilisant le graphique, comment peut-on retrouver les solutions de l'équation $x^2 = 9$ ?
a) $x^2 = 4$
b) $x^2 - 16 = 0$
c) $x^2 + 1 = 0$
d) $x^2 = 0$.
Difficulté : 54/100
Paul prétend qu'il a identifié un nombre tel que ce nombre est deux fois l'inverse de lui-même. Peut-il prouver cette affirmation ?
Difficulté : 45/100
a) Une piscine carrée a son volume multiplié par 8 lorsqu'on multiplie la longueur de son côté par 2. Quelle est la profondeur initiale?
b) La somme du carré d'un nombre et de ce nombre est égale à 462. Quel est ce nombre?
c) Les fonctions $h(t) = t^{2} - 5t + 6$ et $k(t) = 9 - t$ sont représentées sur un même graphe. Détermine les points d'intersection entre les courbes de ces deux fonctions.
d) Deux jets partent simultanément de deux points séparés de 120 km. Le premier volant à une vitesse de 900 km/h et le deuxième à 600 km/h. À quelle distance du point de départ du deuxième sautent-ils?
e) La surface totale d'une parcelle triangulaire adjacente forme un rectangle avec la base du triangle. Quelle est la largeur de cette parcelle totale?