Déterminez trois nombres impairs consécutifs \(n\), \(n + 2\) et \(n + 4\) tels que cinq fois le plus petit diminué de trois fois le plus grand dépasse de 5 le nombre du milieu.
Les trois nombres impairs consécutifs sont 19, 21 et 23.
Soit trois nombres impairs consécutifs que nous notons n, n + 2 et n + 4. L’énoncé nous indique que « cinq fois le plus petit diminué de trois fois le plus grand dépasse de 5 le nombre du milieu ». Autrement dit, l’expression qui représente cette situation est :
5 × n – 3 × (n + 4) = (n + 2) + 5
Nous allons résoudre cette équation pas à pas.
Développons l’expression du côté gauche : 5n – 3(n + 4) = 5n – 3n – 12 = 2n – 12
L’équation devient donc : 2n – 12 = (n + 2) + 5
Simplifions le côté droit de l’équation en additionnant 2 et 5 : (n + 2) + 5 = n + 7
Nous avons maintenant l’équation simplifiée suivante : 2n – 12 = n + 7
Pour isoler n, soustrayons n des deux côtés : 2n – 12 – n = n + 7 – n n – 12 = 7
Ensuite, ajoutons 12 des deux côtés de l’équation : n – 12 + 12 = 7 + 12 n = 19
Maintenant, nous connaissons le plus petit nombre impair : n = 19.
Vérifions maintenant que ces nombres satisfont bien la condition de l’énoncé : • Cinq fois le plus petit : 5 × 19 = 95 • Trois fois le plus grand : 3 × 23 = 69 • Leur différence : 95 – 69 = 26 • Le nombre du milieu augmenté de 5 : 21 + 5 = 26
Les deux résultats sont égaux (26 = 26), ce qui confirme que les nombres choisis sont corrects.
Ainsi, les trois nombres impairs consécutifs recherchés sont 19, 21 et 23.