Dans chaque cas, construis une équation à une inconnue qui admet :
le nombre \(4\) comme solution ;
les nombres \(1\) et \(6\) comme solutions ;
aucune solution.
Partage ces équations avec un camarade. Obtient-il les bonnes solutions ?
Pour l’exercice, nous avons construit : a) \(x = 4\) avec solution 4, b) \(x^2 - 7x + 6 = 0\) avec solutions 1 et 6, d) \(x + 2 = x + 5\) sans solution. Chaque équation a été vérifiée pour confirmer les solutions.
Nous allons construire des équations à une inconnue pour chaque cas demandé. Suivons les étapes nécessaires pour obtenir les équations souhaitées.
Étape 1 : Comprendre la solution
Si \(4\) est la solution de l’équation, cela signifie que lorsque \(x = 4\), l’équation est vraie.
Étape 2 : Choisir une forme d’équation simple
Une forme simple d’équation à une inconnue est :
\[ x = \text{valeur} \]
Étape 3 : Remplacer la valeur par la solution
Puisque \(x = 4\) est la solution, l’équation devient :
\[ x = 4 \]
Vérification :
Si on remplace \(x\) par \(4\) dans l’équation :
\[ 4 = 4 \]
L’égalité est vraie, donc \(x = 4\) est bien la solution.
Étape 1 : Comprendre les solutions
Si \(1\) et \(6\) sont les solutions de l’équation, cela signifie que lorsque \(x = 1\) ou \(x = 6\), l’équation est vraie.
Étape 2 : Utiliser le fait que si \(a\) est une solution, alors \((x - a)\) est un facteur de l’équation
Ainsi, les facteurs correspondants aux solutions \(1\) et \(6\) sont \((x - 1)\) et \((x - 6)\).
Étape 3 : Écrire l’équation sous forme factorisée
L’équation peut être écrite comme le produit des facteurs égale à zéro :
\[ (x - 1)(x - 6) = 0 \]
Étape 4 : Développer l’équation
Développons l’expression :
\[ x^2 - 6x - x + 6 = x^2 - 7x + 6 \]
Ainsi, l’équation est :
\[ x^2 - 7x + 6 = 0 \]
Vérification :
Pour \(x = 1\) :
\[ 1^2 - 7 \times 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \]
Pour \(x = 6\) :
\[ 6^2 - 7 \times 6 + 6 = 36 - 42 + 6 = 0 \]
Les deux solutions vérifient l’équation.
Étape 1 : Comprendre ce qu’il signifie qu’une équation n’ait aucune solution
Une équation sans solution est une équation qui ne peut jamais être vraie, quelle que soit la valeur de \(x\).
Étape 2 : Créer une contradiction
Par exemple, une équation qui affirme qu’une expression égale une valeur différente toujours.
Étape 3 : Choisir une équation simple
Considérons l’équation :
\[ x + 2 = x + 5 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation pour vérifier l’absence de solution
Soustrayons \(x\) des deux côtés :
\[ x + 2 - x = x + 5 - x \\ 2 = 5 \]
Cette égalité est fausse, ce qui signifie qu’il n’existe aucun nombre réel \(x\) qui satisfait l’équation.
Conclusion :
L’équation \(x + 2 = x + 5\) n’a aucune solution.
Après avoir construit ces équations, vous pouvez les partager avec un camarade pour qu’il vérifie que les solutions proposées sont correctes. Par exemple :
Ainsi, votre camarade pourra confirmer que les équations sont correctement construites selon les critères demandés.