Question : Un coureur part de Neuchâtel à une vitesse moyenne de \(10\,\mathrm{km/h}\), tandis qu’une moto part de Sion à une vitesse moyenne de \(50\,\mathrm{km/h}\). Après combien de temps se rencontreront-ils, sachant qu’ils ont emprunté la même route, sont partis en même temps et que la distance entre Neuchâtel et Sion est de 40 km ?
Le coureur et la moto se rencontreront après 40 minutes.
Correction détaillée :
Nous devons déterminer après combien de temps un coureur et une moto partant de villes différentes se rencontreront.
Données du problème : - Vitesse du coureur, \(v_c = 10\,\mathrm{km/h}\) - Vitesse de la moto, \(v_m = 50\,\mathrm{km/h}\) - Distance entre Neuchâtel et Sion, \(d = 40\,\mathrm{km}\) - Temps de rencontre, \(t = ?\)
Étapes de résolution :
Comprendre le mouvement des deux véhicules :
Les deux véhicules partent en même temps de deux villes distantes de 40 km et se dirigent l’un vers l’autre sur la même route. Nous devons trouver le temps qu’il leur faudra pour se rencontrer.
Déterminer les distances parcourues par chacun avant la rencontre :
La distance parcourue par le coureur en \(t\) heures est : \[ d_c = v_c \times t \]
La distance parcourue par la moto en \(t\) heures est : \[ d_m = v_m \times t \]
Établir l’équation de rencontre :
La somme des distances parcourues par les deux véhicules doit être égale à la distance initiale entre les villes : \[ d_c + d_m = d \] En remplaçant par les expressions de \(d_c\) et \(d_m\) : \[ v_c \times t + v_m \times t = d \] \[ (v_c + v_m) \times t = d \]
Résoudre l’équation pour \(t\) :
Isolons \(t\) : \[ t = \frac{d}{v_c + v_m} \]
En substituant les valeurs données : \[ t = \frac{40\,\mathrm{km}}{10\,\mathrm{km/h} + 50\,\mathrm{km/h}} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\,\mathrm{heures} \]
Convertir le temps en minutes :
Sachant que 1 heure = 60 minutes : \[ t = \frac{2}{3} \times 60\,\mathrm{minutes} = 40\,\mathrm{minutes} \]
Conclusion :
Le coureur et la moto se rencontreront après 40 minutes de trajet.