Résoudre les équations suivantes :
\(2x + \dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{5x - 3}{2} - \dfrac{1}{4}x\)
\(\left(x^{2} - 25\right) \cdot \dfrac{1}{2}x \cdot \left(\dfrac{2}{3}x - 5\right) \cdot (1 - 4x) = 0\)
\(\dfrac{x}{2} \cdot 0{,}08 + \dfrac{x}{3} \cdot 0{,}06 - 24 = 0\)
\(-\dfrac{1}{2} \cdot \left(5 + \dfrac{2}{3}x\right) = 2 - \dfrac{1}{3} \cdot (9 - x)\)
\(\dfrac{2}{3} \cdot \left(2 - \dfrac{9}{4}x\right) = \dfrac{7 - 5x}{4}\)
\(\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x - 2}{6} = -\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{4}\right)\)
Équation : \[ 2x + \dfrac{x - 3}{4} = \dfrac{5x - 3}{2} - \dfrac{1}{4}x \]
Étapes de résolution :
Éliminer les fractions : Pour simplifier l’équation, multiplions chaque terme par 4, le plus petit multiple commun des dénominateurs (4 et 2), afin d’éliminer les fractions.
\[ 4 \times 2x + 4 \times \dfrac{x - 3}{4} = 4 \times \dfrac{5x - 3}{2} - 4 \times \dfrac{1}{4}x \]
Ce qui donne :
\[ 8x + (x - 3) = 2(5x - 3) - x \]
Développer les parenthèses : \[ 8x + x - 3 = 10x - 6 - x \]
Simplifions de chaque côté :
\[ 9x - 3 = 9x - 6 \]
Isoler les termes en \(x\) : Soustrayons \(9x\) des deux côtés de l’équation :
\[ 9x - 3 - 9x = 9x - 6 - 9x \]
Ce qui simplifie à :
\[ -3 = -6 \]
Interprétation : L’équation \(-3 = -6\) est une affirmation fausse. Cela signifie qu’il n’y a aucune solution à l’équation initiale.
Conclusion :
Il n’existe pas de valeur de \(x\) qui
satisfait l’équation donnée.
Équation : \[ \left(x^{2} - 25\right) \cdot \dfrac{1}{2}x \cdot \left(\dfrac{2}{3}x - 5\right) \cdot (1 - 4x) = 0 \]
Étapes de résolution :
Utiliser la propriété du produit nul : Si le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins un des facteurs doit être nul.
Donc, nous avons :
\[ x^{2} - 25 = 0 \quad \text{ou} \quad \dfrac{1}{2}x = 0 \quad \text{ou} \quad \dfrac{2}{3}x - 5 = 0 \quad \text{ou} \quad 1 - 4x = 0 \]
Résoudre chaque équation séparément :
Première équation : \[ x^{2} - 25 = 0 \implies x^{2} = 25 \implies x = \pm 5 \]
Deuxième équation : \[ \dfrac{1}{2}x = 0 \implies x = 0 \]
Troisième équation : \[ \dfrac{2}{3}x - 5 = 0 \implies \dfrac{2}{3}x = 5 \implies x = \dfrac{5 \times 3}{2} = \dfrac{15}{2} = 7,5 \]
Quatrième équation : \[ 1 - 4x = 0 \implies -4x = -1 \implies x = \dfrac{1}{4} \]
Lister toutes les solutions : \[ x = -5, \quad x = 0, \quad x = \dfrac{15}{2}, \quad x = \dfrac{1}{4} \]
Conclusion :
Les solutions de l’équation sont \(x =
-5\), \(x = 0\), \(x = \dfrac{15}{2}\) et \(x = \dfrac{1}{4}\).
Équation : \[ \dfrac{x}{2} \cdot 0{,}08 + \dfrac{x}{3} \cdot 0{,}06 - 24 = 0 \]
Étapes de résolution :
Simplifier les termes : Calculons chaque terme :
\[ \dfrac{x}{2} \cdot 0{,}08 = 0{,}04x \] \[ \dfrac{x}{3} \cdot 0{,}06 = 0{,}02x \]
L’équation devient :
\[ 0{,}04x + 0{,}02x - 24 = 0 \]
Combiner les termes en \(x\) : \[ 0{,}06x - 24 = 0 \]
Isoler \(x\) : \[ 0{,}06x = 24 \] \[ x = \dfrac{24}{0{,}06} = \dfrac{24}{\dfrac{6}{100}} = 24 \times \dfrac{100}{6} = 400 \]
Conclusion :
La solution de l’équation est \(x =
400\).
Équation : \[ -\dfrac{1}{2} \cdot \left(5 + \dfrac{2}{3}x\right) = 2 - \dfrac{1}{3} \cdot (9 - x) \]
Étapes de résolution :
Développer les parenthèses :
À gauche : \[ -\dfrac{1}{2} \cdot 5 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}x = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{3}x \]
À droite : \[ 2 - \dfrac{1}{3} \cdot 9 + \dfrac{1}{3}x = 2 - 3 + \dfrac{1}{3}x = -1 + \dfrac{1}{3}x \]
L’équation devient donc :
\[ -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{3}x = -1 + \dfrac{1}{3}x \]
Isoler les termes en \(x\) :
Ajoutons \(\dfrac{1}{3}x\) des deux côtés :
\[ -\dfrac{5}{2} = -1 + \dfrac{2}{3}x \]
Ensuite, ajoutons 1 des deux côtés :
\[ -\dfrac{5}{2} + 1 = \dfrac{2}{3}x \] \[ -\dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3}x \]
Résoudre pour \(x\) : \[ x = \dfrac{-\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} = -\dfrac{9}{4} = -2{,}25 \]
Conclusion :
La solution de l’équation est \(x =
-\dfrac{9}{4}\) ou \(x =
-2{,}25\).
Équation : \[ \dfrac{2}{3} \cdot \left(2 - \dfrac{9}{4}x\right) = \dfrac{7 - 5x}{4} \]
Étapes de résolution :
Développer le côté gauche : \[ \dfrac{2}{3} \cdot 2 - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4}x = \dfrac{4}{3} - \dfrac{18}{12}x = \dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{2}x \]
Écrire l’équation simplifiée : \[ \dfrac{4}{3} - \dfrac{3}{2}x = \dfrac{7 - 5x}{4} \]
Éliminer les fractions : Multiplions chaque terme par 12, le plus petit multiple commun des dénominateurs (3, 2, 4).
\[ 12 \times \dfrac{4}{3} - 12 \times \dfrac{3}{2}x = 12 \times \dfrac{7 - 5x}{4} \] \[ 16 - 18x = 3(7 - 5x) \] \[ 16 - 18x = 21 - 15x \]
Isoler les termes en \(x\) : Soustrayons 16 des deux côtés :
\[ -18x = 5 - 15x \] Ajoutons \(15x\) des deux côtés :
\[ -3x = 5 \] \[ x = -\dfrac{5}{3} \]
Conclusion :
La solution de l’équation est \(x =
-\dfrac{5}{3}\).
Équation : \[ \dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x - 2}{6} = -\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{4}\right) \]
Étapes de résolution :
Développer le côté droit : \[ -\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{4}\right) = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{4} \]
Écrire l’équation simplifiée : \[ \dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x - 2}{6} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{x}{4} \]
Éliminer les fractions : Le plus petit multiple commun des dénominateurs (3, 6, 2, 4) est 12. Multipliions chaque terme par 12 :
\[ 12 \times \dfrac{2x - 1}{3} - 12 \times \dfrac{x - 2}{6} = 12 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 12 \times \dfrac{x}{4} \] \[ 4(2x - 1) - 2(x - 2) = -6 + 3x \] \[ 8x - 4 - 2x + 4 = -6 + 3x \] \[ 6x = -6 + 3x \]
Isoler les termes en \(x\) : Soustrayons \(3x\) des deux côtés :
\[ 6x - 3x = -6 \] \[ 3x = -6 \] \[ x = -2 \]
Conclusion :
La solution de l’équation est \(x =
-2\).