Exercice 159
Paul a 32 ans et Mafalda a 5 ans. Pendant combien d’années l’âge de Paul restera-t-il plus grand que quatre fois celui de Mafalda ?
Réponse
Réponse courte :
L’âge de Paul restera plus grand que quatre fois celui de Mafalda pendant 3 années.
Corrigé détaillé
Correction détaillée :
Nous devons déterminer pendant combien d’années l’âge de Paul restera supérieur à quatre fois celui de Mafalda.
Données : - Âge actuel de Paul : 32 ans - Âge actuel de Mafalda : 5 ans
Étapes de résolution :
Définir l’inconnue :
Soit \(t\) le nombre d’années après lesquelles nous voulons comparer les âges de Paul et de Mafalda.
Exprimer les âges futurs :
- Âge de Paul dans \(t\) ans : \(32 + t\) ans
- Âge de Mafalda dans \(t\) ans : \(5 + t\) ans
Établir l’inégalité :
Nous cherchons les valeurs de \(t\) pour lesquelles l’âge de Paul reste supérieur à quatre fois celui de Mafalda : \[ 32 + t > 4 \times (5 + t) \]
Développer l’inégalité : \[ 32 + t > 4 \times 5 + 4 \times t \] \[ 32 + t > 20 + 4t \]
Isoler les termes en \(t\) : \[ 32 - 20 > 4t - t \] \[ 12 > 3t \]
Résoudre pour \(t\) : \[ t < \frac{12}{3} \] \[ t < 4 \]
Interpréter la solution :
L’inégalité \(t < 4\) signifie que Paul aura un âge supérieur à quatre fois celui de Mafalda pendant moins de 4 ans.
Cependant, comme \(t\) représente des années complètes, nous considérons les valeurs entières inférieures à 4.
Vérifier pour \(t = 3\) et \(t = 4\) :
Pour \(t = 3\) ans : \[ \text{Âge de Paul} = 32 + 3 = 35 \text{ ans} \] \[ \text{Âge de Mafalda} = 5 + 3 = 8 \text{ ans} \] \[ 35 > 4 \times 8 \Rightarrow 35 > 32 \quad \text{(vrai)} \]
Pour \(t = 4\) ans : \[ \text{Âge de Paul} = 32 + 4 = 36 \text{ ans} \] \[ \text{Âge de Mafalda} = 5 + 4 = 9 \text{ ans} \] \[ 36 > 4 \times 9 \Rightarrow 36 > 36 \quad \text{(faux, égalité)} \]
Ainsi, l’inégalité est vraie pour \(t = 3\) ans, mais pas pour \(t = 4\) ans.
Conclusion :
L’âge de Paul restera plus grand que quatre fois celui de Mafalda pendant 3 années.