Exercice 158

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \[\frac{3x - 4}{6} - \frac{5x - 2}{3} \leq -\frac{7}{12}\]

2. \[5x - \left\{-3x + 2 - \left[-2x - 4 - \left(-5x + 2\right) - 7\right] + 2x\right\} \leq 0\]

3. \[3 \cdot \left\{-2x - 2 \cdot \left[-3x + 4 + 5 \cdot (2x - 5) - 3\right] - 5x\right\} \leq -3x + 24\]

4. \[\frac{5x - 7}{2} - \left(-3x + \frac{5x - 1}{2}\right) \geq 6x - \frac{3}{2}\]

5. \[\frac{7x - 4}{5} - \frac{2x - 3}{10} \geq -\frac{2x + 4}{5} + x\]

6. \[\frac{5 - x}{21} - \left(\frac{3x - 2}{7} - \frac{1}{14}\right) \leq \frac{x - 1}{14} - \frac{2x - 1}{7}\]

Réponse

Réponses : 1. x ≥ 1/2
2. x ≤ 5/3
3. x ≥ 2
4. x ≤ –1/2
5. x ≥ –1/2
6. x ≥ 2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des inéquations :

────────────────────────────── Exercice 1. Résoudre :
  (3x – 4)/6 – (5x – 2)/3 ≤ –7/12

1. On écrit le deuxième terme avec le même dénominateur que le premier. Comme 3 × 2 = 6, on a :
     (5x – 2)/3 = 2·(5x – 2)/6.

2. L’inéquation devient :
     [(3x – 4) – 2(5x – 2)]/6 ≤ –7/12.

3. Développons le numérateur :
     3x – 4 – 10x + 4 = –7x.

4. L’inéquation se simplifie alors en :
     (–7x)/6 ≤ –7/12.

5. Pour se débarrasser des dénominateurs, multiplions chaque membre par 12 (nombre positif, donc l’inégalité ne change pas) :
     12·(–7x)/6 ≤ 12·(–7/12)
     –14x ≤ –7.

6. Pour isoler x, divisons par –14. Comme on divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité se renverse :
     x ≥ (–7)/(–14) = 1/2.

Réponse de l’exercice 1 : x ≥ 1/2.

────────────────────────────── Exercice 2. Résoudre :
  5x – { –3x + 2 – [ –2x – 4 – (–5x + 2) – 7 ] + 2x } ≤ 0

1. Tout d’abord, simplifions l’expression la plus intérieure qui se trouve entre crochets :
     –2x – 4 – (–5x + 2) – 7
     Remarquez que – (–5x + 2) = +5x – 2.
     Ainsi : –2x – 4 + 5x – 2 – 7 = (–2x + 5x) + (–4 – 2 – 7) = 3x – 13.

2. Remplaçons dans l’expression entre accolades :
     –3x + 2 – [3x – 13] + 2x
     Développons la soustraction : –3x + 2 – 3x + 13 + 2x.
     En regroupant les termes en x : (–3x – 3x + 2x) = –4x, et les constantes : 2 + 13 = 15.
     On obtient donc : –4x + 15.

3. L’expression totale devient alors :
     5x – { –4x + 15 } = 5x + 4x – 15 = 9x – 15.

4. L’inéquation se réduit à :
     9x – 15 ≤ 0
     Ajoutons 15 à chaque membre : 9x ≤ 15
     Divisons par 9 : x ≤ 15/9 = 5/3.

Réponse de l’exercice 2 : x ≤ 5/3.

────────────────────────────── Exercice 3. Résoudre :
  3 · { –2x – 2 · [ –3x + 4 + 5 · (2x – 5) – 3 ] – 5x } ≤ –3x + 24

1. Commençons par simplifier l’expression entre crochets notée I :
     I = –3x + 4 + 5 · (2x – 5) – 3.
     Calculons 5 · (2x – 5) = 10x – 25.
     Donc I = –3x + 4 + 10x – 25 – 3.
     En regroupant les x : –3x + 10x = 7x, et les constantes : 4 – 25 – 3 = –24.
     Ainsi, I = 7x – 24.

2. Remplaçons I dans l’expression entre accolades :
     –2x – 2 · (7x – 24) – 5x.
     Développons : –2x – 14x + 48 – 5x.
     En regroupant les termes en x : –2x – 14x – 5x = –21x, donc on obtient : –21x + 48.

3. Multiplions par 3 :
     3 · (–21x + 48) = –63x + 144.

4. L’inéquation devient :
     –63x + 144 ≤ –3x + 24.
     Ajoutons 63x des deux côtés : 144 ≤ 60x + 24.
     Soustrayons 24 : 120 ≤ 60x.
     Divisons par 60 : x ≥ 120/60 = 2.

Réponse de l’exercice 3 : x ≥ 2.

────────────────────────────── Exercice 4. Résoudre :
  (5x – 7)/2 – [ –3x + (5x – 1)/2 ] ≥ 6x – 3/2

1. Distribuons le signe moins devant la parenthèse :
     (5x – 7)/2 + 3x – (5x – 1)/2.

2. Regroupons les deux fractions qui ont le même dénominateur 2 :
     [(5x – 7) – (5x – 1)]/2 + 3x.
     Calculons le numérateur : 5x – 7 – 5x + 1 = –6.
     La fraction vaut donc –6/2 = –3.

3. L’expression devient alors :
     –3 + 3x ≥ 6x – 3/2.

4. Regroupons les termes en x et les constantes :
     -3 + 3x – 6x ≥ – 3/2
     –3 – 3x ≥ – 3/2.
     Cependant, il est souvent préférable de regrouper autrement. Ajoutons 3 à chaque membre :
     3x ≥ 6x – 3/2 + 3.
     Autre méthode plus directe : ramenons 6x à gauche.
     Commençons par soustraire 3x des deux côtés de l’inégalité initiale :
     –3 ≥ 3x – 3/2.
     Maintenant, soustrayons –3/2 (ou ajoutons 3/2 des deux côtés) :
     –3 + 3/2 ≥ 3x.
     Calculons –3 + 1,5 = –1.5.
     On a –1.5 ≥ 3x, soit en divisant par 3 (nombre positif) :
     x ≤ –0,5.

Réponse de l’exercice 4 : x ≤ –1/2.

────────────────────────────── Exercice 5. Résoudre :
  (7x – 4)/5 – (2x – 3)/10 ≥ –(2x + 4)/5 + x

1. Pour le côté gauche, mettons les deux fractions sur un même dénominateur. Le dénominateur commun est 10 :
     (7x – 4)/5 = 2(7x – 4)/10.
     Ainsi,
     [2(7x – 4) – (2x – 3)]/10 = [14x – 8 – 2x + 3]/10 = (12x – 5)/10.

2. Pour le côté droit, écrivons également sur un dénominateur commun (ici 5) :
     –(2x + 4)/5 + x = –(2x + 4)/5 + 5x/5 = (–2x – 4 + 5x)/5 = (3x – 4)/5.

3. L’inéquation devient :
     (12x – 5)/10 ≥ (3x – 4)/5.

4. Pour éliminer les dénominateurs, multiplions par 10 :
     12x – 5 ≥ 2(3x – 4) = 6x – 8.

5. Soustrayons 6x – 8 du côté gauche :
     12x – 5 – 6x + 8 ≥ 0
     6x + 3 ≥ 0
     6x ≥ –3
     x ≥ –3/6 = –1/2.

Réponse de l’exercice 5 : x ≥ –1/2.

────────────────────────────── Exercice 6. Résoudre :
  (5 – x)/21 – [(3x – 2)/7 – 1/14] ≤ (x – 1)/14 – (2x – 1)/7

1. Commençons par simplifier le membre de gauche à l’intérieur des crochets. Pour l’expression (3x – 2)/7 – 1/14, mettons sur le même dénominateur 14 :
     (3x – 2)/7 = 2(3x – 2)/14 = (6x – 4)/14.
     Donc, (6x – 4 – 1)/14 = (6x – 5)/14.

2. Le membre de gauche devient alors :
     (5 – x)/21 – (6x – 5)/14.

3. Pour le côté droit, écrivons sur le dénominateur commun 14 :
     (x – 1)/14 – (2x – 1)/7.
     Or, (2x – 1)/7 = 2(2x – 1)/14 = (4x – 2)/14.
     Donc, (x – 1 – (4x – 2))/14 = (x – 1 – 4x + 2)/14 = (–3x + 1)/14.

4. Pour simplifier le côté gauche, mettons sur un dénominateur commun 42 (le PPCM de 21 et 14) :
     (5 – x)/21 = 2(5 – x)/42,
     (6x – 5)/14 = 3(6x – 5)/42.
     L’expression devient : [2(5 – x) – 3(6x – 5)]/42.

5. Développons le numérateur :
     2(5 – x) = 10 – 2x,
     3(6x – 5) = 18x – 15,
     Donc, 10 – 2x – 18x + 15 = 25 – 20x.

6. L’inéquation devient :
     (25 – 20x)/42 ≤ (–3x + 1)/14.

7. Pour se débarrasser des dénominateurs, multiplions chaque membre par 42 (nombre positif) :
     25 – 20x ≤ 42/14 · (–3x + 1).
     Mais 42/14 = 3, donc :
     25 – 20x ≤ 3(–3x + 1) = –9x + 3.

8. Regroupons les termes en x d’un côté :
     25 – 20x + 9x – 3 ≤ 0
     (25 – 3) + (–20x + 9x) ≤ 0
     22 – 11x ≤ 0.

9. Isolons x :
     –11x ≤ –22
     Divisons par –11 en changeant le sens de l’inégalité :
     x ≥ (–22)/(–11) = 2.

Réponse de l’exercice 6 : x ≥ 2.

────────────────────────────── Synthèse des réponses :

1. x ≥ 1/2
   
2. x ≤ 5/3
   
3. x ≥ 2
   
4. x ≤ –1/2
   
5. x ≥ –1/2
   
6. x ≥ 2

Chaque étape a permis de simplifier les expressions et d’isoler x en appliquant les propriétés des inéquations. Ces explications détaillées devraient aider à comprendre la méthode employée pour résoudre chacune de ces inéquations.