Exercice 157
Déterminez, pour chacun des nombres \(-9\), \(-2\), \(-1\), \(1\), \(\dfrac{7}{4}\), lesquelles des inégalités suivantes il vérifie :
- \(2x - 4 \leq x - 5\)
- \(x^{2} \leq -1\)
- \(3x - 5 \leq 2(x - 7)\)
- \(x - \dfrac{1}{2} > 3x - 4\)
- \(2x + 4 + 5x \geq 2(2x - 1)\)
- \(2x - 7 \geq 2x + 4\)
Réponse
Résumé des solutions :
- \(2x - 4 \leq x - 5\) : \(-9\), \(-2\), \(-1\)
- \(x^{2} \leq -1\) : Aucun
- \(3x - 5 \leq 2(x - 7)\) : \(-9\)
- \(x - \dfrac{1}{2} > 3x - 4\) : \(-9\), \(-2\), \(-1\), \(1\)
- \(2x + 4 + 5x \geq 2(2x - 1)\) : \(-2\), \(-1\), \(1\), \(\dfrac{7}{4}\)
- \(2x - 7 \geq 2x + 4\) : Aucun
Corrigé détaillé
Correction détaillée des inégalités
Nous allons examiner chacune des inégalités données et déterminer lesquelles des nombres \(-9\), \(-2\), \(-1\), \(1\), \(\dfrac{7}{4}\) les vérifient. Pour chaque inégalité, nous résoudrons l’inéquation puis vérifierons quels nombres appartiennent à l’ensemble des solutions.
1. \(2x - 4 \leq x - 5\)
Résolution de l’inéquation
\[ \begin{align*} 2x - 4 &\leq x - 5 \\ 2x - x &\leq -5 + 4 \quad (\texttraction de \(x\) et ajout de 4 des deux côtés) \\ x &\leq -1 \end{align*} \]
Interprétation
Tous les nombres \(x\) tels que \(x \leq -1\) satisfont cette inégalité.
Vérification des nombres donnés
- \(-9 \leq -1\) : Vrai
- \(-2 \leq -1\) : Vrai
- \(-1 \leq -1\) : Vrai
- \(1 \leq -1\) : Faux
- \(\dfrac{7}{4} \leq -1\) : Faux
Nombres vérifiant l’inéquation 1 : \(-9\), \(-2\), \(-1\)
2. \(x^{2} \leq -1\)
Analyse de l’inéquation
L’expression \(x^{2}\) représente le carré de \(x\), qui est toujours positif ou égal à zéro pour tout nombre réel \(x\).
\[ x^{2} \geq 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R} \]
Or, l’inéquation demande que \(x^{2} \leq -1\).
Conclusion
Il n’existe aucun nombre réel \(x\) tel que \(x^{2} \leq -1\), car \(x^{2}\) est toujours au moins égal à zéro.
Nombres vérifiant l’inéquation 2 : Aucun
3. \(3x - 5 \leq 2(x - 7)\)
Résolution de l’inéquation
\[ \begin{align*} 3x - 5 &\leq 2(x - 7) \\ 3x - 5 &\leq 2x - 14 \\ 3x - 2x &\leq -14 + 5 \quad (\textraction de \(2x\) et addition de 5 des deux côtés) \\ x &\leq -9 \end{align*} \]
Interprétation
Tous les nombres \(x\) tels que \(x \leq -9\) satisfont cette inéquation.
Vérification des nombres donnés
- \(-9 \leq -9\) : Vrai
- \(-2 \leq -9\) : Faux
- \(-1 \leq -9\) : Faux
- \(1 \leq -9\) : Faux
- \(\dfrac{7}{4} \leq -9\) : Faux
Nombres vérifiant l’inéquation 3 : \(-9\)
4. \(x - \dfrac{1}{2} > 3x - 4\)
Résolution de l’inéquation
\[ \begin{align*} x - \dfrac{1}{2} &> 3x - 4 \\ x - 3x &> -4 + \dfrac{1}{2} \quad (\textraction de \(3x\) et addition de \(\dfrac{1}{2}\) des deux côtés) \\ -2x &> -\dfrac{7}{2} \\ x &< \dfrac{7}{4} \quad \text{(en divisant par \(-2\), on inverse le signe de l'inégalité)} \end{align*} \]
Interprétation
Tous les nombres \(x\) tels que \(x < \dfrac{7}{4}\) satisfont cette inéquation.
Vérification des nombres donnés
- \(-9 < \dfrac{7}{4}\) : Vrai
- \(-2 < \dfrac{7}{4}\) : Vrai
- \(-1 < \dfrac{7}{4}\) : Vrai
- \(1 < \dfrac{7}{4}\) : Vrai (car \(1 = \dfrac{4}{4} < \dfrac{7}{4}\))
- \(\dfrac{7}{4} < \dfrac{7}{4}\) : Faux
Nombres vérifiant l’inéquation 4 : \(-9\), \(-2\), \(-1\), \(1\)
5. \(2x + 4 + 5x \geq 2(2x - 1)\)
Résolution de l’inéquation
\[ \begin{align*} 2x + 4 + 5x &\geq 2(2x - 1) \\ 7x + 4 &\geq 4x - 2 \\ 7x - 4x &\geq -2 - 4 \quad (\textraction de \(4x\) et soustraction de 4 des deux côtés) \\ 3x &\geq -6 \\ x &\geq -2 \end{align*} \]
Interprétation
Tous les nombres \(x\) tels que \(x \geq -2\) satisfont cette inéquation.
Vérification des nombres donnés
- \(-9 \geq -2\) : Faux
- \(-2 \geq -2\) : Vrai
- \(-1 \geq -2\) : Vrai
- \(1 \geq -2\) : Vrai
- \(\dfrac{7}{4} \geq -2\) : Vrai
Nombres vérifiant l’inéquation 5 : \(-2\), \(-1\), \(1\), \(\dfrac{7}{4}\)
6. \(2x - 7 \geq 2x + 4\)
Résolution de l’inéquation
\[ \begin{align*} 2x - 7 &\geq 2x + 4 \\ 2x - 2x &\geq 4 + 7 \quad (\textraction de \(2x\) des deux côtés et addition de 7) \\ 0 &\geq 11 \end{align*} \]
Conclusion
L’affirmation \(0 \geq 11\) est toujours fausse. Cela signifie qu’il n’existe aucun nombre réel \(x\) qui satisfasse cette inéquation.
Nombres vérifiant l’inéquation 6 : Aucun
Récapitulatif des solutions
| Nombre | Inégalité 1 | Inégalité 2 | Inégalité 3 | Inégalité 4 | Inégalité 5 | Inégalité 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-9\) | ✔️ | ❌ | ✔️ | ✔️ | ❌ | ❌ |
| \(-2\) | ✔️ | ❌ | ❌ | ✔️ | ✔️ | ❌ |
| \(-1\) | ✔️ | ❌ | ❌ | ✔️ | ✔️ | ❌ |
| \(1\) | ❌ | ❌ | ❌ | ✔️ | ✔️ | ❌ |
| \(\dfrac{7}{4}\) | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ | ✔️ | ❌ |
Légende : - ✔️ : Le nombre vérifie l’inéquation - ❌ : Le nombre ne vérifie pas l’inéquation
Conclusion
En résumant, les nombres \(-9\), \(-2\), \(-1\), \(1\), et \(\dfrac{7}{4}\) vérifient respectivement certaines des inégalités proposées. Il est essentiel de résoudre chaque inéquation étape par étape afin de déterminer les valeurs de \(x\) qui les satisfont, puis de vérifier si les nombres donnés appartiennent à ces ensembles de solutions.