Exercice 154

Un piquet est enfoncé dans la terre et dans la neige. La partie en terre représente \(\frac{1}{6}\) de sa longueur, et la partie dans la neige correspond à \(\frac{2}{5}\) de sa longueur. La portion restante mesure \(3,25 \ \mathrm{m}\). Quelle est la longueur totale du piquet ?

Réponse

La longueur totale du piquet est d’environ 7,5 mètres.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous devons déterminer la longueur totale du piquet en tenant compte des différentes parties enfoncées dans la terre, dans la neige et la partie restante.

Données du problème : - Partie en terre : \(\frac{1}{6}\) de la longueur totale. - Partie dans la neige : \(\frac{2}{5}\) de la longueur totale. - Partie restante : \(3,25 \ \mathrm{m}\).

Étape 1 : Définir la longueur totale du piquet

Soit \(L\) la longueur totale du piquet en mètres.

Étape 2 : Exprimer les différentes parties en fonction de \(L\)

• La partie en terre est \(\frac{1}{6} L\).
• La partie dans la neige est \(\frac{2}{5} L\).
• La partie restante est déjà donnée : \(3,25 \ \mathrm{m}\).

Étape 3 : Établir l’équation

La somme des différentes parties doit être égale à la longueur totale du piquet. On peut donc écrire l’équation suivante :

\[ \frac{1}{6} L + \frac{2}{5} L + 3,25 = L \]

Étape 4 : Résoudre l’équation pour trouver \(L\)

Pour résoudre cette équation, nous allons regrouper les termes en \(L\) et isoler \(L\).

1. Additionner les fractions avec \(L\) :

   Trouvons un dénominateur commun pour \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{2}{5}\). Le plus petit commun multiple de 6 et 5 est 30.

   • \(\frac{1}{6} = \frac{5}{30}\)
   • \(\frac{2}{5} = \frac{12}{30}\)

   Donc :

   \[ \frac{5}{30} L + \frac{12}{30} L = \frac{17}{30} L \]

2. Réécrire l’équation :

   \[ \frac{17}{30} L + 3,25 = L \]

3. Isoler les termes avec \(L\) :

   Soustrayons \(\frac{17}{30} L\) des deux côtés de l’équation :

   \[ 3,25 = L - \frac{17}{30} L \]

   Simplifions le côté droit :

   \[ L - \frac{17}{30} L = \left(1 - \frac{17}{30}\right) L = \frac{13}{30} L \]

   Donc :

   \[ 3,25 = \frac{13}{30} L \]

4. Résoudre pour \(L\) :

   Multiplions les deux côtés de l’équation par \(\frac{30}{13}\) pour isoler \(L\) :

   \[ L = 3,25 \times \frac{30}{13} \]

   Calculons le produit :

   \[ L = 3,25 \times \frac{30}{13} = \frac{3,25 \times 30}{13} = \frac{97,5}{13} \approx 7,5 \ \mathrm{m} \]

Conclusion :

La longueur totale du piquet est d’environ 7,5 mètres.