Exercice 148

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(\frac{1}{2}x + 4 \geq \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - x\)

2. \(\frac{3x + 2}{2} < \frac{5x - 2}{3}\)

3. \(0{,}2\,x - 0{,}1 \geq 0{,}5\,x + 0{,}2 - x\)

4. \(2x - (-7x + 4) - 5x \leq 7x - (-3x + 3) - 10\)

5. \(\frac{3x - 3}{2} - \frac{1}{3} \geq \frac{2x + 1}{6} - \frac{1}{2}\)

6. \(\frac{5x - 1}{4} - \frac{2x - 1}{3} < x - \frac{1}{3}\)

Réponse

Résumé des solutions :

1. \(x \geq -4\)
2. \(x > 10\)
3. \(x \geq \frac{3}{7}\)
4. \(x \geq \frac{3}{2}\)
5. \(x \geq \frac{9}{7}\)
6. \(x > 1\)

Corrigé détaillé

Correction des inéquations

1) Résoudre l’inéquation :

\[ \frac{1}{2}x + 4 \geq \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} - x \]

Étapes de résolution :

1. Simplifier les termes contenant \(x\) :

   • Regroupons les termes en \(x\) de chaque côté de l’inéquation.
   • À gauche : \(\frac{1}{2}x\)
   • À droite : \(\frac{2}{3}x - x = \frac{2}{3}x - \frac{3}{3}x = -\frac{1}{3}x\)

   Donc, l’inéquation devient : \[ \frac{1}{2}x + 4 \geq -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \]

2. Isoler les termes en \(x\) d’un côté :

   • Ajoutons \(\frac{1}{3}x\) des deux côtés pour éliminer le terme \(-\frac{1}{3}x\) du côté droit. \[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x + 4 \geq \frac{2}{3} \]

   • Calculons \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x\) : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \] Donc, \[ \frac{5}{6}x + 4 \geq \frac{2}{3} \]

3. Isoler \(\frac{5}{6}x\) :

   • Soustrayons 4 des deux côtés. \[ \frac{5}{6}x \geq \frac{2}{3} - 4 \]
   • Convertissons 4 en fractions ayant le même dénominateur (3) : \[ 4 = \frac{12}{3} \] Donc, \[ \frac{5}{6}x \geq \frac{2}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{10}{3} \]

4. Isoler \(x\) :

   • Multiplions les deux côtés par \(\frac{6}{5}\) pour obtenir \(x\). \[ x \geq -\frac{10}{3} \times \frac{6}{5} = -\frac{60}{15} = -4 \]

Solution : \[ x \geq -4 \]

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2) Résoudre l’inéquation :

\[ \frac{3x + 2}{2} < \frac{5x - 2}{3} \]

Étapes de résolution :

1. Éliminer les dénominateurs :
   • Multiplions les deux côtés par 6 (le PPCM de 2 et 3) pour se débarrasser des fractions. \[ 6 \times \frac{3x + 2}{2} < 6 \times \frac{5x - 2}{3} \]
   • Simplifions : \[ 3(3x + 2) < 2(5x - 2) \] \[ 9x + 6 < 10x - 4 \]
2. Isoler \(x\) :
   • Soustrayons \(9x\) des deux côtés. \[ 6 < x - 4 \]
   • Ajoutons 4 des deux côtés. \[ 10 < x \] ou \[ x > 10 \]

Solution : \[ x > 10 \]

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3) Résoudre l’inéquation :

\[ 0{,}2\,x - 0{,}1 \geq 0{,}5\,x + 0{,}2 - x \]

Étapes de résolution :

1. Simplifier les termes en \(x\) : \[ 0{,}2x - 0{,}1 \geq 0{,}5x + 0{,}2 - x \] \[ 0{,}2x - 0{,}1 \geq -0{,}5x + 0{,}2 \]

2. Isoler les termes en \(x\) d’un côté :

   • Ajoutons \(0{,}5x\) des deux côtés. \[ 0{,}2x + 0{,}5x - 0{,}1 \geq 0{,}2 \] \[ 0{,}7x - 0{,}1 \geq 0{,}2 \]

3. Isoler \(0{,}7x\) :

   • Ajoutons \(0{,}1\) des deux côtés. \[ 0{,}7x \geq 0{,}3 \]

4. Trouver \(x\) :

   • Divisons par \(0{,}7\). \[ x \geq \frac{0{,}3}{0{,}7} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286 \]

Solution : \[ x \geq \frac{3}{7} \]

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4) Résoudre l’inéquation :

\[ 2x - (-7x + 4) - 5x \leq 7x - (-3x + 3) - 10 \]

Étapes de résolution :

1. Supprimer les parenthèses : \[ 2x + 7x - 4 - 5x \leq 7x + 3x - 3 - 10 \]
   • Simplifions chaque côté : \[ (2x + 7x - 5x) - 4 \leq (7x + 3x) - 3 - 10 \] \[ 4x - 4 \leq 10x - 13 \]
2. Isoler les termes en \(x\) :
   • Soustrayons \(4x\) des deux côtés. \[ -4 \leq 6x - 13 \]
   • Ajoutons 13 des deux côtés. \[ 9 \leq 6x \]
3. Trouver \(x\) :
   • Divisons par 6. \[ \frac{9}{6} \leq x \] \[ \frac{3}{2} \leq x \] ou \[ x \geq \frac{3}{2} \]

Solution : \[ x \geq \frac{3}{2} \]

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5) Résoudre l’inéquation :

\[ \frac{3x - 3}{2} - \frac{1}{3} \geq \frac{2x + 1}{6} - \frac{1}{2} \]

Étapes de résolution :

1. Éliminer les dénominateurs :
   • Le PPCM des dénominateurs 2, 3 et 6 est 6.
   • Multiplions chaque terme par 6. \[ 6 \times \left( \frac{3x - 3}{2} \right) - 6 \times \frac{1}{3} \geq 6 \times \left( \frac{2x + 1}{6} \right) - 6 \times \frac{1}{2} \]
   • Simplifions : \[ 3(3x - 3) - 2 \geq (2x + 1) - 3 \] \[ 9x - 9 - 2 \geq 2x + 1 - 3 \] \[ 9x - 11 \geq 2x - 2 \]
2. Isoler \(x\) :
   • Soustrayons \(2x\) des deux côtés. \[ 7x - 11 \geq -2 \]
   • Ajoutons 11 des deux côtés. \[ 7x \geq 9 \]
3. Trouver \(x\) :
   • Divisons par 7. \[ x \geq \frac{9}{7} \approx 1{,}2857 \]

Solution : \[ x \geq \frac{9}{7} \]

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6) Résoudre l’inéquation :

\[ \frac{5x - 1}{4} - \frac{2x - 1}{3} < x - \frac{1}{3} \]

Étapes de résolution :

1. Éliminer les dénominateurs :
   • Le PPCM des dénominateurs 4 et 3 est 12.
   • Multiplions chaque terme par 12. \[ 12 \times \left( \frac{5x - 1}{4} \right) - 12 \times \left( \frac{2x - 1}{3} \right) < 12 \times x - 12 \times \frac{1}{3} \]
   • Simplifions : \[ 3(5x - 1) - 4(2x - 1) < 12x - 4 \] \[ 15x - 3 - 8x + 4 < 12x - 4 \] \[ 7x + 1 < 12x - 4 \]
2. Isoler les termes en \(x\) :
   • Soustrayons \(7x\) des deux côtés. \[ 1 < 5x - 4 \]
   • Ajoutons 4 des deux côtés. \[ 5 < 5x \]
3. Trouver \(x\) :
   • Divisons par 5. \[ 1 < x \] ou \[ x > 1 \]

Solution : \[ x > 1 \]