Un homme, ne souhaitant ni révéler son âge ni mentir, déclare : « Si je vivais jusqu’à 100 ans, les \(\frac{3}{4}\) de \(\frac{1}{3}\) des années qu’il me resterait à vivre dépasseraient de 3 ans le \(\frac{1}{3}\) de \(\frac{5}{8}\) de mon âge. » Quel est son âge ?
L’homme a 48 ans.
Correction détaillée de l’exercice :
Énoncé : Un homme, ne souhaitant ni révéler son âge ni mentir, déclare : « Si je vivais jusqu’à 100 ans, les \(\frac{3}{4}\) de \(\frac{1}{3}\) des années qu’il me resterait à vivre dépasseraient de 3 ans le \(\frac{1}{3}\) de \(\frac{5}{8}\) de mon âge. » Quel est son âge ?
Étape 1 : Définir la variable inconnue - Notons l’âge de l’homme par \(x\) ans.
Étape 2 : Calculer les années qu’il lui resterait à vivre - Si l’homme vivait jusqu’à 100 ans, les années qu’il lui resteraient à vivre sont : \[100 - x\]
Étape 3 : Calculer \(\frac{1}{3}\) des années restantes - \(\frac{1}{3}\) des années restantes : \[\frac{1}{3} \times (100 - x)\]
Étape 4 : Calculer \(\frac{3}{4}\) de ce montant - \(\frac{3}{4}\) de \(\frac{1}{3}\) des années restantes : \[\frac{3}{4} \times \frac{1}{3} \times (100 - x) = \frac{3}{12} \times (100 - x) = \frac{1}{4} (100 - x)\]
Étape 5 : Calculer \(\frac{5}{8}\) de son âge - \(\frac{5}{8}\) de son âge : \[\frac{5}{8} \times x\]
Étape 6 : Calculer \(\frac{1}{3}\) de ce montant - \(\frac{1}{3}\) de \(\frac{5}{8}\) de son âge : \[\frac{1}{3} \times \frac{5}{8} \times x = \frac{5}{24} x\]
Étape 7 : Établir l’équation selon l’énoncé - Selon l’énoncé, \(\frac{1}{4} (100 - x)\) dépasse de 3 ans \(\frac{5}{24} x\) : \[\frac{1}{4} (100 - x) = \frac{5}{24} x + 3\]
Étape 8 : Résoudre l’équation 1. Multiplions chaque terme par 24 pour éliminer les fractions : \[24 \times \frac{1}{4} (100 - x) = 24 \times \frac{5}{24} x + 24 \times 3\] \[6(100 - x) = 5x + 72\]
Développons : \[600 - 6x = 5x + 72\]
Regroupons les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[600 - 72 = 5x + 6x\] \[528 = 11x\]
Isolons \(x\) : \[x = \frac{528}{11}\] \[x = 48\]
Conclusion : L’homme a 48 ans.