Exercice 142

Question : Pour chaque paire d’équations suivantes, détermine si la seconde est équivalente à la première. Si ce n’est pas le cas, modifie la seconde équation pour qu’elle le soit.

  1. \(4x - 7 = 5\)
    et \(-8x + 14 = -10\)

  2. \(6x + 2 = 20\)
    et \(24x + 8 = 80\)

  3. \(\frac{2x}{3} + 4 = 10\)
    et \(\frac{4}{3}x + 4 = 20\)

  4. \(8x - 16 = 4x + 2\)
    et \(-48x + 96 = -24x - 12\)

  5. \(3x - 5 = 0\)
    et \(6x - 10 = -5\)

  6. \(10x + 2 = x^{2}\)
    et \(0 = x^{2} - 10x - 2\)

  7. \(x^{2} - 2x = 0\)
    et \(x(x - 2) = 0\)

  8. \(x^{2} - 2x = 0\)
    et \(x - 2 = 0\)

Réponse

Résumé des corrections :

  1. Les deux équations sont équivalentes.

  2. Les deux équations sont équivalentes.

  3. Les équations ne sont pas équivalentes. Modification : \(6x - 10 = 0\).

  4. Les deux équations sont équivalentes.

  5. Les équations ne sont pas équivalentes. Modification : \(6x - 10 = 0\).

  6. Les deux équations sont équivalentes.

  7. Les deux équations sont équivalentes.

  8. Les équations ne sont pas équivalentes. Modification : \(x(x - 2) = 0\).

Corrigé détaillé

Correction des exercices

Exercice a)

Énoncé : Pour chaque paire d’équations suivantes, détermine si la seconde est équivalente à la première. Si ce n’est pas le cas, modifie la seconde équation pour qu’elle le soit.

  1. \[ 4x - 7 = 5 \] et \[ -8x + 14 = -10 \]

Correction :

Pour vérifier si les deux équations sont équivalentes, nous allons résoudre chacune d’elles pour \(x\) et comparer les solutions.

  1. Première équation : \[ 4x - 7 = 5 \]
    • Ajoutons 7 des deux côtés : \[ 4x = 12 \]
    • Divisons par 4 : \[ x = 3 \]
  2. Deuxième équation : \[ -8x + 14 = -10 \]
    • Soustrayons 14 des deux côtés : \[ -8x = -24 \]
    • Divisons par -8 : \[ x = 3 \]

Conclusion :

Les deux équations ont la même solution \(x = 3\). Par conséquent, la seconde équation est équivalente à la première.

Exercice b)
  1. \[ 6x + 2 = 20 \] et \[ 24x + 8 = 80 \]

Correction :

Vérifions l’équivalence en résolvant les deux équations.

  1. Première équation : \[ 6x + 2 = 20 \]
    • Soustrayons 2 des deux côtés : \[ 6x = 18 \]
    • Divisons par 6 : \[ x = 3 \]
  2. Deuxième équation : \[ 24x + 8 = 80 \]
    • Soustrayons 8 des deux côtés : \[ 24x = 72 \]
    • Divisons par 24 : \[ x = 3 \]

Conclusion :

Les deux équations ont la même solution \(x = 3\). Donc, la seconde équation est équivalente à la première.

Exercice c)
  1. \[ \frac{2x}{3} + 4 = 10 \] et \[ \frac{4}{3}x + 4 = 20 \]

Correction :

Comparons les solutions des deux équations.

  1. Première équation : \[ \frac{2x}{3} + 4 = 10 \]
    • Soustrayons 4 des deux côtés : \[ \frac{2x}{3} = 6 \]
    • Multiplions par 3 : \[ 2x = 18 \]
    • Divisons par 2 : \[ x = 9 \]
  2. Deuxième équation : \[ \frac{4}{3}x + 4 = 20 \]
    • Soustrayons 4 des deux côtés : \[ \frac{4}{3}x = 16 \]
    • Multiplions par 3 : \[ 4x = 48 \]
    • Divisons par 4 : \[ x = 12 \]

Conclusion :

Les solutions sont différentes (\(x = 9\) vs \(x = 12\)). Par conséquent, la seconde équation n’est pas équivalente à la première.

Modification de la seconde équation :

Pour qu’elle soit équivalente à la première, elle doit donner \(x = 9\). Partons de la première équation et multiplions chaque terme par 2 :

\[ \frac{2x}{3} + 4 = 10 \implies \frac{4x}{3} + 8 = 20 \]

Cependant, cela nous donne la seconde équation initiale, ce qui montre que la modification n’est pas nécessaire car les équations ne sont pas équivalentes. Pour rendre la seconde équation équivalente à la première, on peut reprendre la deuxième équation correctement :

\[ \frac{4}{3}x + 4 = 20 \implies \frac{2}{3}x + 2 = 10 \]

Multipliant par 2 :

\[ \frac{4}{3}x + 4 = 20 \]

Ceci montre que la méthode initiale mène à une inconsistance. Donc, pour que la seconde équation soit équivalente, elle doit être :

\[ \frac{2x}{3} + 4 = 10 \]

Exercice d)
  1. \[ 8x - 16 = 4x + 2 \] et \[ -48x + 96 = -24x - 12 \]

Correction :

Résolvons les deux équations et comparons les solutions.

  1. Première équation : \[ 8x - 16 = 4x + 2 \]
    • Soustrayons \(4x\) des deux côtés : \[ 4x - 16 = 2 \]
    • Ajoutons 16 des deux côtés : \[ 4x = 18 \]
    • Divisons par 4 : \[ x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \]
  2. Deuxième équation : \[ -48x + 96 = -24x - 12 \]
    • Ajoutons \(48x\) des deux côtés : \[ 96 = 24x - 12 \]
    • Ajoutons 12 des deux côtés : \[ 108 = 24x \]
    • Divisons par 24 : \[ x = \frac{108}{24} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Conclusion :

Les deux équations ont la même solution \(x = 4.5\). Donc, la seconde équation est équivalente à la première.

Exercice e)
  1. \[ 3x - 5 = 0 \] et \[ 6x - 10 = -5 \]

Correction :

Résolvons les deux équations.

  1. Première équation : \[ 3x - 5 = 0 \]
    • Ajoutons 5 des deux côtés : \[ 3x = 5 \]
    • Divisons par 3 : \[ x = \frac{5}{3} \approx 1.666 \]
  2. Deuxième équation : \[ 6x - 10 = -5 \]
    • Ajoutons 10 des deux côtés : \[ 6x = 5 \]
    • Divisons par 6 : \[ x = \frac{5}{6} \approx 0.833 \]

Conclusion :

Les solutions sont différentes (\(x = \frac{5}{3}\) vs \(x = \frac{5}{6}\)). Donc, la seconde équation n’est pas équivalente à la première.

Modification de la seconde équation :

Pour qu’elle soit équivalente à la première, elle doit donner \(x = \frac{5}{3}\). Observons que la seconde équation est le double de la première, mais le membre de droite est différent.

Corrigeons le membre de droite :

\[ 6x - 10 = -5 \implies \text{Pour } x = \frac{5}{3} : \] \[ 6 \times \frac{5}{3} - 10 = 10 - 10 = 0 \]

Donc, la seconde équation équivalente est : \[ 6x - 10 = 0 \]

Exercice f)
  1. \[ 10x + 2 = x^{2} \] et \[ 0 = x^{2} - 10x - 2 \]

Correction :

Vérifions si les deux équations sont équivalentes.

  1. Première équation : \[ 10x + 2 = x^{2} \]
    • Remarrangeons pour obtenir 0 à un côté : \[ x^{2} - 10x - 2 = 0 \]
  2. Deuxième équation : \[ 0 = x^{2} - 10x - 2 \]

Conclusion :

Les deux équations sont identiques après réarrangement. Donc, la seconde équation est équivalente à la première.

Exercice g)
  1. \[ x^{2} - 2x = 0 \] et \[ x(x - 2) = 0 \]

Correction :

Vérifions l’équivalence des deux équations.

  1. Première équation : \[ x^{2} - 2x = 0 \]
    • Factorisons : \[ x(x - 2) = 0 \]
  2. Deuxième équation : \[ x(x - 2) = 0 \]

Conclusion :

Les deux équations sont identiques après factorisation. Donc, la seconde équation est équivalente à la première.

Exercice h)
  1. \[ x^{2} - 2x = 0 \] et \[ x - 2 = 0 \]

Correction :

Résolvons les deux équations et comparons les solutions.

  1. Première équation : \[ x^{2} - 2x = 0 \]
    • Factorisons : \[ x(x - 2) = 0 \]
    • Les solutions sont : \[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 2 \]
  2. Deuxième équation : \[ x - 2 = 0 \]
    • Résolution : \[ x = 2 \]

Conclusion :

La première équation a deux solutions (\(x = 0\) et \(x = 2\)), tandis que la seconde n’en a qu’une seule (\(x = 2\)). Donc, la seconde équation n’est pas équivalente à la première.

Modification de la seconde équation :

Pour qu’elle soit équivalente à la première, elle doit avoir les deux solutions \(x = 0\) et \(x = 2\). La seconde équation doit ainsi être :

\[ x(x - 2) = 0 \]

ou équivalentlement :

\[ x^{2} - 2x = 0 \]

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer