Pour chaque cas, trouve un nombre tel que l’application des instructions de la première colonne et de la deuxième colonne donne le même résultat.
Nous allons chercher un nombre (noté x) tel que, pour chacune des situations données, l’application de deux séries d’instructions donne le même résultat. Pour chaque cas, nous traduisons les instructions en une expression algébrique, puis établissons une équation. Voici le détail pour chaque point :
────────────────────────────
a) Instructions :
• Première colonne : « Ajouter 9 à ce nombre, puis soustraire 4 »
Cela se traduit par : (x + 9) – 4
Simplifions : x + 9 – 4 = x + 5
• Deuxième colonne : « Soustraire 4 de ce nombre, puis ajouter 9
»
Cela devient : (x – 4) + 9
Simplifions : x – 4 + 9 = x + 5
Puisque dans les deux cas nous obtenons x + 5, les deux résultats
sont identiques pour tout nombre x.
Conclusion a) : Tout nombre convient.
────────────────────────────
b) Instructions :
• Première colonne : « Multiplier ce nombre par 3, puis ajouter 18
»
Cela donne : 3x + 18
• Deuxième colonne : « Ajouter 18 à ce nombre, puis multiplier le
résultat par 3 »
Cela se traduit par : 3·(x + 18) = 3x + 54
Posons l’équation pour que les deux soient égaux :
3x + 18 = 3x + 54
Pour résoudre, soustrayons 3x des deux côtés :
18 = 54
Cette égalité est fausse. Cela signifie qu’il n’existe aucun nombre x
vérifiant cette égalité.
Conclusion b) : Aucun nombre ne convient.
────────────────────────────
c) Instructions :
• Première colonne : « Diviser ce nombre par 5, puis ajouter 7 »
On écrit : x/5 + 7
• Deuxième colonne : « Ajouter 7 à ce nombre, puis diviser le
résultat par 5 »
On a : (x + 7)/5
Posons l’équation :
x/5 + 7 = (x + 7)/5
Multiplier les deux côtés par 5 pour éliminer la division :
x + 35 = x + 7
Soustrayons x des deux côtés :
35 = 7
Cette égalité est fausse.
Conclusion c) : Aucun nombre ne convient.
────────────────────────────
d) Instructions :
• Première colonne : « Soustraire 10 à ce nombre, puis multiplier le
résultat par 2 »
Cela donne : 2·(x – 10) = 2x – 20
• Deuxième colonne : « Multiplier ce nombre par 2, puis soustraire 10
du résultat »
Cela devient : 2x – 10
Posons l’équation :
2x – 20 = 2x – 10
Soustrayons 2x des deux côtés :
–20 = –10
Ce qui est impossible.
Conclusion d) : Aucun nombre ne convient.
────────────────────────────
e) Instructions :
• Première colonne : « Ajouter 15 à ce nombre, puis soustraire 5 »
On écrit : (x + 15) – 5 = x + 10
• Deuxième colonne : « Soustraire 5 de ce nombre, puis ajouter 15
»
On a : (x – 5) + 15 = x + 10
Les deux résultats sont identiques, soit x + 10, pour tout nombre
x.
Conclusion e) : Tout nombre convient.
────────────────────────────
Résumé des réponses : a) Tout nombre convient.
b) Aucun nombre ne convient.
c) Aucun nombre ne convient.
d) Aucun nombre ne convient.
e) Tout nombre convient.
Cette démarche algébrique permet de vérifier pour chaque cas si, selon l’ordre des opérations, on obtient le même résultat ou non.