Exercice 139

Trouver deux nombres, sachant que l’un est le double de l’autre et que, si on retranche 12 à chacun de ces nombres, le quotient est égal à 6. Combien existe-t-il de solutions ?

Réponse

Réponse finale : Il existe une seule solution.

Corrigé détaillé

Correction détaillée de l’exercice

Enoncé : Trouver deux nombres, sachant que l’un est le double de l’autre et que, si on retranche 12 à chacun de ces nombres, le quotient est égal à 6. Combien existe-t-il de solutions ?

Solution :

1. Définir les variables :

   • Soit \(x\) le premier nombre.
   • Le deuxième nombre étant le double du premier, il s’écrit \(2x\).

2. Appliquer la condition sur la retranchement de 12 et le quotient :

   • Si on retranche 12 à chacun des nombres, on obtient :
     • Premier nombre : \(x - 12\)
     • Deuxième nombre : \(2x - 12\)
   • Le quotient de ces deux nouvelles valeurs est égal à 6 : \[ \frac{x - 12}{2x - 12} = 6 \]

3. Résoudre l’équation :

   • Multiplions les deux côtés de l’équation par \(2x - 12\) pour éliminer le dénominateur : \[ x - 12 = 6(2x - 12) \]

   • Développons le membre de droite : \[ x - 12 = 12x - 72 \]

   • Isolons les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre : \[ x - 12x = -72 + 12 \] \[ -11x = -60 \]

   • Divisons par -11 pour trouver \(x\) : \[ x = \frac{-60}{-11} = \frac{60}{11} \]

   • Ainsi, le premier nombre est \(\frac{60}{11}\) et le deuxième nombre, étant le double, est : \[ 2x = 2 \times \frac{60}{11} = \frac{120}{11} \]

4. Vérification de la solution :

   • Retranchons 12 à chacun des nombres : \[ \frac{60}{11} - 12 = \frac{60}{11} - \frac{132}{11} = \frac{-72}{11} \] \[ \frac{120}{11} - 12 = \frac{120}{11} - \frac{132}{11} = \frac{-12}{11} \]

   • Calculons le quotient des deux résultats obtenus : \[ \frac{\frac{-72}{11}}{\frac{-12}{11}} = \frac{-72}{11} \times \frac{11}{-12} = \frac{72}{12} = 6 \]

   • La condition du problème est donc vérifiée.

5. Nombre de solutions :

   • L’équation obtenue conduit à une unique valeur pour \(x\).
   • Par conséquent, il existe une unique solution à cet exercice.

Réponse finale : Il existe une seule solution.