Un cycliste a roulé pendant six heures. S’il avait roulé une heure de moins tout en augmentant sa vitesse moyenne de \(3~\text{km/h}\), il aurait parcouru 10 km de moins. Quelle était sa vitesse moyenne ?
La vitesse moyenne initiale du cycliste est de 25 km/h.
Pour déterminer la vitesse moyenne initiale du cycliste, suivons les étapes suivantes :
Si le cycliste avait roulé une heure de moins, il aurait roulé pendant \(6 - 1 = 5\) heures. De plus, sa vitesse moyenne aurait augmenté de 3 km/h, soit \(v + 3\) km/h.
Selon l’énoncé, la distance initiale est 10 km de plus que la distance modifiée :
\[ d - d' = 10 \]
En remplaçant \(d\) et \(d'\) par leurs expressions respectives :
\[ v \times 6 - (v + 3) \times 5 = 10 \]
Développons l’équation :
\[ 6v - 5(v + 3) = 10 \]
Distribuons le \(5\) dans la parenthèse :
\[ 6v - 5v - 15 = 10 \]
Simplifions en combinant les termes en \(v\) :
\[ (6v - 5v) - 15 = 10 \\ v - 15 = 10 \]
Ajoutons \(15\) des deux côtés de l’équation :
\[ v - 15 + 15 = 10 + 15 \\ v = 25 \]
La vitesse moyenne initiale du cycliste est de :
\[ \boxed{25~\text{km/h}} \]