Si on ajoute \(6\) à la moitié d’un nombre, on trouve son triple diminué de \(14\). Quel est ce nombre ?
Le nombre recherché est 8.
Pour résoudre ce problème, suivons les étapes ci-dessous :
Énoncé du problème : Si on ajoute \(6\) à la moitié d’un nombre, on trouve son triple diminué de \(14\). Quel est ce nombre ?
Étape 1 : Définir la variable inconnue
Commençons par appeler le nombre recherché \(x\).
Étape 2 : Traduire l’énoncé en équation mathématique
Selon l’énoncé : - “La moitié d’un nombre” se traduit par \(\dfrac{x}{2}\). - “Ajouter \(6\)” à cette moitié donne \(\dfrac{x}{2} + 6\). - “Le triple diminué de \(14\)” se traduit par \(3x - 14\).
Ainsi, l’équation devient : \[ \dfrac{x}{2} + 6 = 3x - 14 \]
Étape 3 : Résoudre l’équation pour trouver \(x\)
Isoler les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre côté.
Soustrayons \(\dfrac{x}{2}\) des deux côtés de l’équation : \[ \dfrac{x}{2} + 6 - \dfrac{x}{2} = 3x - 14 - \dfrac{x}{2} \] Simplifions : \[ 6 = \dfrac{6x}{2} - 14 \] \[ 6 = 3x - 14 \]
Isoler \(3x\).
Ajoutons \(14\) des deux côtés : \[ 6 + 14 = 3x - 14 + 14 \] \[ 20 = 3x \]
Trouver la valeur de \(x\).
Divisons les deux côtés par \(3\) : \[ \dfrac{20}{3} = x \] \[ x = \dfrac{20}{3} \]
Étape 4 : Conclusion
Le nombre recherché est \(\dfrac{20}{3}\), soit environ \(6,\!666\).
Vérification :
Vérifions que ce nombre satisfait l’énoncé du problème.
Calculer la moitié du nombre et ajouter \(6\) : \[ \dfrac{20}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{10}{3} \] \[ \dfrac{10}{3} + 6 = \dfrac{10}{3} + \dfrac{18}{3} = \dfrac{28}{3} \]
Calculer le triple du nombre diminué de \(14\) : \[ 3 \times \dfrac{20}{3} = 20 \] \[ 20 - 14 = 6 \]
Cependant, il semble y avoir une incohérence. Rectifions la résolution.
Rectification de la résolution :
Reprenons à l’étape de simplification de l’équation initiale.
Équation initiale : \[ \dfrac{x}{2} + 6 = 3x - 14 \]
Isoler les termes en \(x\) :
Soustrayons \(\dfrac{x}{2}\) des deux côtés : \[ 6 = 3x - \dfrac{x}{2} - 14 \] \[ 6 = \dfrac{6x}{2} - \dfrac{x}{2} - 14 \] \[ 6 = \dfrac{5x}{2} - 14 \]
Isoler \(\dfrac{5x}{2}\) :
Ajoutons \(14\) des deux côtés : \[ 6 + 14 = \dfrac{5x}{2} \] \[ 20 = \dfrac{5x}{2} \]
Trouver \(x\) :
Multiplions les deux côtés par \(2\) : \[ 40 = 5x \] \[ x = \dfrac{40}{5} \] \[ x = 8 \]
Vérification finale :
Calculer la moitié du nombre et ajouter \(6\) : \[ \dfrac{8}{2} + 6 = 4 + 6 = 10 \]
Calculer le triple du nombre diminué de \(14\) : \[ 3 \times 8 - 14 = 24 - 14 = 10 \]
Les deux côtés de l’équation donnent \(10\), ce qui confirme que \(x = 8\) est la solution correcte.
Réponse finale :
Le nombre recherché est \(8\).