Exercice 135

Résoudre les équations suivantes :

1. \(3x \cdot (x - 2) \cdot \left(3x - \dfrac{1}{2}\right) = 0\)

2. \(\left(\dfrac{1}{2}x + 3\right) \cdot (4x - 1) \cdot \left(x + \dfrac{1}{2}\right) = 0\)

3. \((3x - 2) \cdot \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = 0\)

4. \((4x - 3) \cdot \left(3 + \dfrac{x}{2}\right) \cdot \left(2x - \dfrac{2}{3}\right) = 0\)

5. \((1 - 3x) \cdot \left(\dfrac{2}{5}x + \dfrac{5}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{x - 2}{3}\right) = 0\)

6. \(\left(x^{2} - 1\right) \cdot \dfrac{1}{2}x \cdot (2x - 0,1) = 0\)

Réponse

Résumé des solutions :

1. \(x = 0,\ 2,\ \dfrac{1}{6}\)
2. \(x = -6,\ \dfrac{1}{4},\ -\dfrac{1}{2}\)
3. \(x = \dfrac{2}{3},\ \dfrac{4}{3},\ -3\)
4. \(x = \dfrac{3}{4},\ -6,\ \dfrac{1}{3}\)
5. \(x = \dfrac{1}{3},\ -\dfrac{25}{4},\ 2\)
6. \(x = -1,\ 0,\ 1,\ 0,05\)

Corrigé détaillé

Correction des équations

1) \(3x \cdot (x - 2) \cdot \left(3x - \dfrac{1}{2}\right) = 0\)

Étape 1 : Appliquer la propriété du produit nul

Si le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro, alors au moins un des facteurs doit être égal à zéro.

\[ 3x = 0 \quad \text{ou} \quad x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad 3x - \dfrac{1}{2} = 0 \]

Étape 2 : Résoudre chaque équation séparément

1. \(3x = 0\) \[ x = 0 \]
2. \(x - 2 = 0\) \[ x = 2 \]
3. \(3x - \dfrac{1}{2} = 0\) \[ 3x = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{6} \]

Solution :

\[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = \dfrac{1}{6} \]

---

2) \(\left(\dfrac{1}{2}x + 3\right) \cdot (4x - 1) \cdot \left(x + \dfrac{1}{2}\right) = 0\)

Étape 1 : Appliquer la propriété du produit nul

\[ \dfrac{1}{2}x + 3 = 0 \quad \text{ou} \quad 4x - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad x + \dfrac{1}{2} = 0 \]

Étape 2 : Résoudre chaque équation séparément

1. \(\dfrac{1}{2}x + 3 = 0\) \[ \dfrac{1}{2}x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \]
2. \(4x - 1 = 0\) \[ 4x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{4} \]
3. \(x + \dfrac{1}{2} = 0\) \[ x = -\dfrac{1}{2} \]

Solution :

\[ x = -6, \quad x = \dfrac{1}{4}, \quad x = -\dfrac{1}{2} \]

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3) \((3x - 2) \cdot \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{x + 3}{2}\right) = 0\)

Étape 1 : Appliquer la propriété du produit nul

\[ 3x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad \dfrac{x}{2} - \dfrac{2}{3} = 0 \quad \text{ou} \quad \dfrac{x + 3}{2} = 0 \]

Étape 2 : Résoudre chaque équation séparément

1. \(3x - 2 = 0\) \[ 3x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{2}{3} \]
2. \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{2}{3} = 0\) \[ \dfrac{x}{2} = \dfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{4}{3} \]
3. \(\dfrac{x + 3}{2} = 0\) \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]

Solution :

\[ x = \dfrac{2}{3}, \quad x = \dfrac{4}{3}, \quad x = -3 \]

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4) \((4x - 3) \cdot \left(3 + \dfrac{x}{2}\right) \cdot \left(2x - \dfrac{2}{3}\right) = 0\)

Étape 1 : Appliquer la propriété du produit nul

\[ 4x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad 3 + \dfrac{x}{2} = 0 \quad \text{ou} \quad 2x - \dfrac{2}{3} = 0 \]

Étape 2 : Résoudre chaque équation séparément

1. \(4x - 3 = 0\) \[ 4x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{3}{4} \]
2. \(3 + \dfrac{x}{2} = 0\) \[ \dfrac{x}{2} = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \]
3. \(2x - \dfrac{2}{3} = 0\) \[ 2x = \dfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{3} \]

Solution :

\[ x = \dfrac{3}{4}, \quad x = -6, \quad x = \dfrac{1}{3} \]

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5) \((1 - 3x) \cdot \left(\dfrac{2}{5}x + \dfrac{5}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{x - 2}{3}\right) = 0\)

Étape 1 : Appliquer la propriété du produit nul

\[ 1 - 3x = 0 \quad \text{ou} \quad \dfrac{2}{5}x + \dfrac{5}{2} = 0 \quad \text{ou} \quad -\dfrac{x - 2}{3} = 0 \]

Étape 2 : Résoudre chaque équation séparément

1. \(1 - 3x = 0\) \[ -3x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{3} \]
2. \(\dfrac{2}{5}x + \dfrac{5}{2} = 0\) \[ \dfrac{2}{5}x = -\dfrac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -\dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} = -\dfrac{25}{4} \]
3. \(-\dfrac{x - 2}{3} = 0\) \[ \dfrac{x - 2}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

Solution :

\[ x = \dfrac{1}{3}, \quad x = -\dfrac{25}{4}, \quad x = 2 \]

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6) \(\left(x^{2} - 1\right) \cdot \dfrac{1}{2}x \cdot (2x - 0,1) = 0\)

Étape 1 : Appliquer la propriété du produit nul

\[ x^{2} - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad \dfrac{1}{2}x = 0 \quad \text{ou} \quad 2x - 0,1 = 0 \]

Étape 2 : Résoudre chaque équation séparément

1. \(x^{2} - 1 = 0\) \[ x^{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \]
2. \(\dfrac{1}{2}x = 0\) \[ x = 0 \]
3. \(2x - 0,1 = 0\) \[ 2x = 0,1 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{0,1}{2} = 0,05 \]

Solution :

\[ x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1, \quad x = 0,05 \]