Question : Camille possède un jardin de forme carrée. Elle décide de l’agrandir de 10 m dans un sens et de 15 m dans l’autre, de manière à obtenir un terrain rectangulaire. Ainsi, elle augmente la surface de son jardin de \(750\, \mathrm{m}^{2}\).
Quelle était la mesure du côté du terrain initial ?
Le côté initial du jardin de Camille était de 24 mètres.
Correction détaillée :
Nous devons déterminer la mesure du côté initial du jardin carré de Camille avant son agrandissement.
Étape 1 : Définir la variable inconnue
Soit \(x\) la longueur du côté du jardin carré initial.
Étape 2 : Calculer l’aire initiale du jardin
L’aire \(A_{\text{initiale}}\) d’un carré se calcule en élevant la longueur de son côté au carré : \[ A_{\text{initiale}} = x^2 \]
Étape 3 : Décrire les modifications apportées au jardin
Camille agrandit son jardin de : - 10 m dans un sens - 15 m dans l’autre sens
Après agrandissement, le jardin devient un rectangle. Les nouvelles dimensions sont donc : \[ \text{Longueur} = x + 10 \, \text{m} \] \[ \text{Largeur} = x + 15 \, \text{m} \]
Étape 4 : Calculer l’aire du jardin agrandi
L’aire \(A_{\text{agrandie}}\) du rectangle est donnée par : \[ A_{\text{agrandie}} = (\text{Longueur}) \times (\text{Largeur}) = (x + 10)(x + 15) \]
Développons cette expression : \[ A_{\text{agrandie}} = x \times x + x \times 15 + 10 \times x + 10 \times 15 = x^2 + 15x + 10x + 150 \] \[ A_{\text{agrandie}} = x^2 + 25x + 150 \]
Étape 5 : Établir l’équation basée sur l’augmentation de l’aire
Il est donné que l’aire a été augmentée de \(750\, \mathrm{m}^{2}\) : \[ A_{\text{agrandie}} - A_{\text{initiale}} = 750 \] Substituons les expressions trouvées : \[ (x^2 + 25x + 150) - x^2 = 750 \] Simplifions : \[ 25x + 150 = 750 \]
Étape 6 : Résoudre l’équation pour \(x\)
Isolons \(25x\) : \[ 25x = 750 - 150 \] \[ 25x = 600 \] Divisons par 25 : \[ x = \frac{600}{25} = 24 \]
Conclusion :
La mesure du côté du jardin initial de Camille était de 24 mètres.