La largeur d’une pelouse rectangulaire est la moitié de sa longueur. Cette pelouse est bordée d’une allée de 1 m de large. On sait que l’aire de l’allée est comprise entre \(112 \mathrm{~m}^{2}\) et \(208 \mathrm{~m}^{2}\). Encadrer aussi bien que possible la largeur de cette pelouse.
La largeur de la pelouse est comprise entre 18 m et 34 m.
Correction détaillée
Nous allons résoudre le problème étape par étape pour encadrer la largeur de la pelouse.
L’aire de la pelouse rectangulaire est donnée par : \[ \text{Aire}_{\text{pelouse}} = L \times l = L \times \frac{L}{2} = \frac{L^2}{2} \]
L’allée de 1 mètre entoure la pelouse de chaque côté, ce qui augmente les dimensions de la pelouse :
L’aire totale du rectangle comprenant la pelouse et l’allée est : \[ \text{Aire}_{\text{totale}} = (L + 2) \times \left( \frac{L}{2} + 2 \right) \] Développons cette expression : \[ \text{Aire}_{\text{totale}} = L \times \frac{L}{2} + L \times 2 + 2 \times \frac{L}{2} + 2 \times 2 = \frac{L^2}{2} + 2L + L + 4 = \frac{L^2}{2} + 3L + 4 \]
L’aire de l’allée est la différence entre l’aire totale et l’aire de la pelouse : \[ \text{Aire}_{\text{allée}} = \text{Aire}_{\text{totale}} - \text{Aire}_{\text{pelouse}} = \left( \frac{L^2}{2} + 3L + 4 \right) - \frac{L^2}{2} = 3L + 4 \]
On sait que l’aire de l’allée est comprise entre \(112 \, \text{m}^2\) et \(208 \, \text{m}^2\). On peut donc écrire : \[ 112 \leq 3L + 4 \leq 208 \]
Commençons par soustraire 4 de chaque partie de l’inégalité : \[ 112 - 4 \leq 3L \leq 208 - 4 \\ 108 \leq 3L \leq 204 \] Ensuite, divisons chaque terme par 3 : \[ \frac{108}{3} \leq L \leq \frac{204}{3} \\ 36 \leq L \leq 68 \]
Puisque la largeur \(l\) est la moitié de la longueur \(L\) : \[ l = \frac{L}{2} \] Ainsi, en remplaçant les bornes de \(L\) : \[ l_{\text{min}} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{m} \\ l_{\text{max}} = \frac{68}{2} = 34 \, \text{m} \]
La largeur de la pelouse est encadrée de la manière suivante : \[ 18 \, \text{m} \leq l \leq 34 \, \text{m} \]