Exercice 120

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(\frac{1}{2} x - 2 > 4\)

2. \(0,5\,x - 4 \leq 0,5\,x - 2\)

3. \(\frac{3}{4}\,x - 1 \geq -7\)

4. \(-2\,x + 4 \leq -2\,x + 4\)

5. \(-4\,x - 2 \leq -x + 1\)

6. \(x - 5 > 3\,x - 5\)

Réponse

Résumé des Solutions

1. \(x > 12\)
2. Toutes les valeurs de \(x\) sont solutions.
3. \(x \geq -8\)
4. Toutes les valeurs de \(x\) sont solutions.
5. \(x \geq -1\)
6. \(x < 0\)

Corrigé détaillé

Correction des Inéquations

Voici les corrections détaillées pour les inéquations proposées. Chaque étape est expliquée de manière claire et structurée pour faciliter la compréhension.

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1) \(\frac{1}{2} x - 2 > 4\)

Étapes de Résolution

1. Isoler le terme contenant \(x\) :

   Ajoutons 2 des deux côtés de l’inéquation pour éliminer le terme constant de gauche.

   \[ \frac{1}{2} x - 2 + 2 > 4 + 2 \]

   Simplification :

   \[ \frac{1}{2} x > 6 \]

2. Résoudre pour \(x\) :

   Multiplions les deux côtés par 2 pour isoler \(x\).

   \[ 2 \times \frac{1}{2} x > 2 \times 6 \]

   Simplification :

   \[ x > 12 \]

Solution

\[ x > 12 \]

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2) \(0,5\,x - 4 \leq 0,5\,x - 2\)

Étapes de Résolution

1. Simplifier l’inéquation :

   Soustrayons \(0,5x\) des deux côtés pour éliminer le terme contenant \(x\).

   \[ 0,5x - 4 - 0,5x \leq 0,5x - 2 - 0,5x \]

   Simplification :

   \[ -4 \leq -2 \]

2. Analyser l’inéquation obtenue :

   L’inéquation \(-4 \leq -2\) est toujours vraie, quelle que soit la valeur de \(x\).

Solution

Toutes les valeurs de \(x\) sont solutions.

\[ \text{Solution : } x \in \mathbb{R} \]

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3) \(\frac{3}{4}\,x - 1 \geq -7\)

Étapes de Résolution

1. Isoler le terme contenant \(x\) :

   Ajoutons 1 des deux côtés de l’inéquation.

   \[ \frac{3}{4}x - 1 + 1 \geq -7 + 1 \]

   Simplification :

   \[ \frac{3}{4}x \geq -6 \]

2. Résoudre pour \(x\) :

   Multiplions les deux côtés par \(\frac{4}{3}\) pour isoler \(x\).

   \[ x \geq -6 \times \frac{4}{3} \]

   Calcul :

   \[ x \geq -8 \]

Solution

\[ x \geq -8 \]

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4) \(-2\,x + 4 \leq -2\,x + 4\)

Étapes de Résolution

1. Simplifier l’inéquation :

   Soustrayons \(-2x\) des deux côtés.

   \[ -2x + 4 + 2x \leq -2x + 4 + 2x \]

   Simplification :

   \[ 4 \leq 4 \]

2. Analyser l’inéquation obtenue :

   L’inéquation \(4 \leq 4\) est toujours vraie.

Solution

Toutes les valeurs de \(x\) sont solutions.

\[ \text{Solution : } x \in \mathbb{R} \]

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5) \(-4\,x - 2 \leq -x + 1\)

Étapes de Résolution

1. Isoler les termes contenant \(x\) :

   Ajoutons \(4x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\).

   \[ -4x - 2 + 4x \leq -x + 1 + 4x \]

   Simplification :

   \[ -2 \leq 3x + 1 \]

2. Isoler \(x\) :

   Soustrayons 1 des deux côtés.

   \[ -2 - 1 \leq 3x + 1 - 1 \]

   Simplification :

   \[ -3 \leq 3x \]

3. Résoudre pour \(x\) :

   Divisons les deux côtés par 3.

   \[ \frac{-3}{3} \leq x \]

   Simplification :

   \[ -1 \leq x \]

   Ce qui peut s’écrire aussi :

   \[ x \geq -1 \]

Solution

\[ x \geq -1 \]

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6) \(x - 5 > 3\,x - 5\)

Étapes de Résolution

1. Isoler les termes contenant \(x\) :

   Soustrayons \(x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\).

   \[ x - 5 - x > 3x - 5 - x \]

   Simplification :

   \[ -5 > 2x - 5 \]

2. Isoler \(2x\) :

   Ajoutons 5 des deux côtés.

   \[ -5 + 5 > 2x - 5 + 5 \]

   Simplification :

   \[ 0 > 2x \]

3. Résoudre pour \(x\) :

   Divisons les deux côtés par 2.

   \[ \frac{0}{2} > x \]

   Simplification :

   \[ 0 > x \]

   Ce qui peut s’écrire aussi :

   \[ x < 0 \]

Solution

\[ x < 0 \]

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Résumé des Solutions

1. \(x > 12\)
2. \(x \in \mathbb{R}\) (Toutes les valeurs de \(x\) sont solutions)
3. \(x \geq -8\)
4. \(x \in \mathbb{R}\) (Toutes les valeurs de \(x\) sont solutions)
5. \(x \geq -1\)
6. \(x < 0\)