Exercice 119

Donner les valeurs de \(a\) telles que l’équation \(x \cdot (a - 5) = a + 1\) :

1. ait une solution unique ;

2. n’ait aucune solution.

Réponse

Réponse courte :

• Solution unique : Pour tout \(a \neq 5\).
• Aucune solution : Lorsque \(a = 5\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé :
Donner les valeurs de \(a\) telles que l’équation \(x \cdot (a - 5) = a + 1\) :

1. ait une solution unique ;

2. n’ait aucune solution.

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1) L’équation a une solution unique

Pour déterminer les valeurs de \(a\) pour lesquelles l’équation \(x \cdot (a - 5) = a + 1\) possède une solution unique, suivons les étapes suivantes :

Étape 1 : Comprendre l’équation

L’équation est du type : \[ x \cdot (a - 5) = a + 1 \] C’est une équation linéaire en \(x\). Pour qu’elle ait une solution unique, le coefficient de \(x\) doit être différent de zéro.

Étape 2 : Déterminer le coefficient de \(x\)

Le coefficient de \(x\) est \((a - 5)\). Pour qu’il ne soit pas nul : \[ a - 5 \neq 0 \]

Étape 3 : Résoudre l’inégalité

Résolvons l’inéquation : \[ a - 5 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a \neq 5 \]

Conclusion

Pour tout \(a\) différent de 5, l’équation \(x \cdot (a - 5) = a + 1\) possède une solution unique.

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2) L’équation n’a aucune solution

Pour que l’équation \(x \cdot (a - 5) = a + 1\) n’ait aucune solution, il faut que :

1. Le coefficient de \(x\) soit nul, c’est-à-dire \(a - 5 = 0\).
2. Le membre de droite soit différent de zéro, c’est-à-dire \(a + 1 \neq 0\).

Étape 1 : Déterminer quand le coefficient de \(x\) est nul

Posons : \[ a - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \]

Étape 2 : Vérifier le membre de droite

Substituons \(a = 5\) dans \(a + 1\) : \[ 5 + 1 = 6 \neq 0 \]

Étape 3 : Analyser la situation

Lorsque \(a = 5\), l’équation devient : \[ x \cdot 0 = 6 \] Ce qui simplifie à : \[ 0 = 6 \] C’est une contradiction, donc il n’existe aucune valeur de \(x\) qui satisfait l’équation lorsque \(a = 5\).

Conclusion

L’équation \(x \cdot (a - 5) = a + 1\) n’a aucune solution lorsque \(a = 5\).

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Résumé

• Solution unique : Pour tout \(a \neq 5\).
• Aucune solution : Lorsque \(a = 5\).