Résoudre les équations littérales suivantes pour l’inconnue \(x\) :
Solutions des exercices :
\(x = \frac{2ab}{a - b}\)
\(x = \frac{a + b}{a - b}\)
\(x = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}\)
\(x = \frac{a}{b}\)
\(x = \frac{1}{a + b}\)
\(x = -a - b\)
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Commencez par distribuer \(a\) et \(b\) dans les parenthèses :
\[ a \cdot x - a \cdot b = b \cdot x + b \cdot a \]
Ce qui donne :
\[ a x - a b = b x + a b \]
Étape 2 : Regrouper les termes contenant \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre côté
Pour isoler \(x\), déplaçons tous les termes contenant \(x\) d’un côté et les autres termes de l’autre côté. Soustrayons \(b x\) des deux côtés :
\[ a x - b x - a b = a b \]
Factorisons \(x\) dans le premier terme :
\[ x (a - b) - a b = a b \]
Ajoutons \(a b\) des deux côtés pour isoler le terme contenant \(x\) :
\[ x (a - b) = a b + a b \]
Simplifions le côté droit :
\[ x (a - b) = 2 a b \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Divisons les deux côtés par \((a - b)\) :
\[ x = \frac{2 a b}{a - b} \]
Solution :
\[ x = \frac{2 a b}{a - b} \]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Distribuons \(2a\), \(a\) et \(b\) dans les parenthèses :
\[ 2a x - 2a = a x - a + b x + b \]
Étape 2 : Regrouper les termes contenant \(x\) et les termes constants
Regroupons les termes en \(x\) et les constantes :
\[ 2a x - a x - b x = -a + b + 2a \]
Simplifions :
\[ (2a - a - b) x = (2a - a + b) \]
\[ (a - b) x = a + b \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Divisons les deux côtés par \((a - b)\) :
\[ x = \frac{a + b}{a - b} \]
Solution :
\[ x = \frac{a + b}{a - b} \]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Distribuons \(2b^{2}\) et \(x\) dans les parenthèses :
\[ 2b^{2} x - 2b^{2} - a^{2} = 3b^{2} x - a^{2} x - b^{2} \]
Étape 2 : Regrouper tous les termes contenant \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre côté
Déplaçons tous les termes avec \(x\) à gauche et les autres termes à droite :
\[ 2b^{2} x - 3b^{2} x + a^{2} x = 2b^{2} - b^{2} + a^{2} \]
Simplifions :
\[ (-b^{2} + a^{2}) x = b^{2} + a^{2} \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Factorisons \(x\) et isolons-le :
\[ x = \frac{b^{2} + a^{2}}{a^{2} - b^{2}} \]
On peut factoriser le dénominateur :
\[ x = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{(a + b)(a - b)} \]
Solution :
\[ x = \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} \]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Distribuons \(a\) et \(b\) dans les parenthèses :
\[ a b - 3a^{2} + a b x = 2a b - b^{2} x - 2a^{2} \]
Étape 2 : Regrouper les termes contenant \(x\) et les termes constants
Déplaçons tous les termes avec \(x\) à gauche et les autres termes à droite :
\[ a b x + b^{2} x = 2a b - a b + 3a^{2} - 2a^{2} \]
Simplifions :
\[ (a b + b^{2}) x = a b + a^{2} \]
Étape 3 : Factoriser et isoler \(x\)
Factorisons \(b\) dans le terme de gauche :
\[ b (a + b) x = a (b + a) \]
Divisons les deux côtés par \(b (a + b)\) :
\[ x = \frac{a (a + b)}{b (a + b)} = \frac{a}{b} \]
Solution :
\[ x = \frac{a}{b} \]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Distribuons \(b\) et \(a\) dans les parenthèses :
\[ 3b^{2}x - b - 4b^{2}x = 4a - a^{2} x - 3a \]
Étape 2 : Regrouper les termes contenant \(x\) et les termes constants
Simplifions les termes en \(x\) :
\[ (3b^{2}x - 4b^{2}x) = -b - a^{2} x + 4a - 3a \]
\[ - b^{2}x = -b - a^{2}x + a \]
Déplaçons les termes en \(x\) d’un côté et les autres termes de l’autre :
\[ - b^{2}x + a^{2}x = -b + a \]
Factorisons \(x\) :
\[ x (-b^{2} + a^{2}) = a - b \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Divisons les deux côtés par \(a^{2} - b^{2}\) :
\[ x = \frac{a - b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a - b}{(a - b)(a + b)} = \frac{1}{a + b} \]
Solution :
\[ x = \frac{1}{a + b} \]
Étape 1 : Développer les deux côtés de l’équation
Distribuons \(-3x\) et \(-b\) dans les parenthèses :
\[ -3x a - 3x b - a^{2} = -2a x - b^{2} - 4b x \]
Étape 2 : Regrouper les termes contenant \(x\) et les termes constants
Regroupons les termes en \(x\) et les constantes :
\[ -3a x - 3b x + 2a x + 4b x = -b^{2} + a^{2} \]
Simplifions les termes en \(x\) :
\[ (-3a + 2a) x + (-3b + 4b) x = -b^{2} + a^{2} \]
\[ (-a + b) x = a^{2} - b^{2} \]
Étape 3 : Isoler \(x\)
Divisons les deux côtés par \(b - a\) (qui est \(-(a - b)\)) :
\[ x = \frac{a^{2} - b^{2}}{b - a} = \frac{(a - b)(a + b)}{-(a - b)} = -(a + b) \]
Solution :
\[ x = - (a + b) = -a - b \]