Résoudre les équations littérales suivantes (x est l’inconnue) :
\(a^{2}x - a = a^{2} - a x\)
\(a^{2}x + 1 = a^{2} - x\)
\(4x - a^{2} = a x - 16\)
\(4a^{2} - x = 4a x\)
\(a b x + a b = b + a^{2} b x\)
\(b x (a - b) + a^{2}x = a (1 - b x) + b (1 - 2 b x)\)
Question : Résoudre l’équation \(a^{2}x - a = a^{2} - a x\).
Correction :
Pour résoudre l’équation \(a^{2}x - a = a^{2} - a x\) pour \(x\), suivons les étapes suivantes :
Isoler les termes contenant \(x\) d’un côté de l’équation :
\[ a^{2}x - a = a^{2} - a x \]
Ajoutons \(a x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\) :
\[ a^{2}x - a + a x = a^{2} - a x + a x \]
Simplifions :
\[ a^{2}x + a x - a = a^{2} \]
Factoriser \(x\) dans les termes de gauche :
\[ x(a^{2} + a) - a = a^{2} \]
Isoler le terme en \(x\) :
Ajoutons \(a\) des deux côtés :
\[ x(a^{2} + a) = a^{2} + a \]
Résoudre pour \(x\) :
Divisons les deux côtés par \((a^{2} + a)\) :
\[ x = \frac{a^{2} + a}{a^{2} + a} \]
Simplifions le rapport :
\[ x = 1 \]
Réponse : \(x = 1\)
Question : Résoudre l’équation \(a^{2}x + 1 = a^{2} - x\).
Correction :
Pour résoudre \(a^{2}x + 1 = a^{2} - x\) pour \(x\), procédons étape par étape :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les autres termes de l’autre côté :
\[ a^{2}x + x = a^{2} - 1 \]
Facteur commun \(x\) :
\[ x(a^{2} + 1) = a^{2} - 1 \]
Isoler \(x\) :
Divisons les deux côtés par \((a^{2} + 1)\) :
\[ x = \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 1} \]
Réponse : \(x = \dfrac{a^{2} - 1}{a^{2} + 1}\)
Question : Résoudre l’équation \(4x - a^{2} = a x - 16\).
Correction :
Pour résoudre \(4x - a^{2} = a x - 16\) pour \(x\), suivons les étapes suivantes :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les autres termes de l’autre côté :
\[ 4x - a x = a^{2} - 16 \]
Factorisons \(x\) :
\[ x(4 - a) = a^{2} - 16 \]
Isoler \(x\) :
Divisons les deux côtés par \((4 - a)\) :
\[ x = \frac{a^{2} - 16}{4 - a} \]
On peut simplifier le numérateur \(a^{2} - 16\) en utilisant la différence de carrés :
\[ a^{2} - 16 = (a - 4)(a + 4) \]
Donc :
\[ x = \frac{(a - 4)(a + 4)}{4 - a} = - (a + 4) \]
(Puisque \(4 - a = - (a - 4)\))
Simplification finale :
\[ x = -a - 4 \]
Réponse : \(x = -a - 4\)
Question : Résoudre l’équation \(4a^{2} - x = 4a x\).
Correction :
Pour résoudre \(4a^{2} - x = 4a x\) pour \(x\), procédons comme suit :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté :
\[ 4a^{2} = 4a x + x \]
Factorisons \(x\) :
\[ 4a^{2} = x(4a + 1) \]
Isoler \(x\) :
Divisons les deux côtés par \((4a + 1)\) :
\[ x = \frac{4a^{2}}{4a + 1} \]
Réponse : \(x = \dfrac{4a^{2}}{4a + 1}\)
Question : Résoudre l’équation \(a b x + a b = b + a^{2} b x\).
Correction :
Pour résoudre \(a b x + a b = b + a^{2} b x\) pour \(x\), suivons les étapes suivantes :
Rassembler les termes en \(x\) d’un côté et les autres termes de l’autre côté :
\[ a b x - a^{2} b x = b - a b \]
Factorisons \(x\) et \(b\) :
\[ x(a b - a^{2} b) = b(1 - a) \]
Simplifions :
\[ x b (a - a^{2}) = b(1 - a) \]
Simplifier en annulant \(b\) (si \(b \neq 0\)) :
\[ x(a - a^{2}) = 1 - a \]
Factoriser \(a\) dans le terme de gauche :
\[ x a(1 - a) = 1 - a \]
Isoler \(x\) :
Divisons les deux côtés par \(a(1 - a)\) :
\[ x = \frac{1 - a}{a(1 - a)} = \frac{1}{a} \]
Réponse : \(x = \dfrac{1}{a}\)
Question : Résoudre l’équation \(b x (a - b) + a^{2}x = a (1 - b x) + b (1 - 2 b x)\).
Correction :
Pour résoudre \(b x (a - b) + a^{2}x = a (1 - b x) + b (1 - 2 b x)\) pour \(x\), procédons étape par étape :
Développer les deux côtés de l’équation :
À gauche :
\[ b x (a - b) + a^{2}x = a b x - b^{2} x + a^{2} x \]
À droite :
\[ a(1 - b x) + b(1 - 2 b x) = a - a b x + b - 2 b^{2} x \]
Donc, l’équation devient :
\[ a b x - b^{2} x + a^{2} x = a - a b x + b - 2 b^{2} x \]
Rassembler tous les termes en \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre côté :
Ajoutons \(a b x\) et \(2 b^{2} x\) des deux côtés :
\[ a b x - b^{2} x + a^{2} x + a b x + 2 b^{2} x = a + b \]
Simplifions les termes en \(x\) :
\[ (a b x + a b x) + (-b^{2} x + 2 b^{2} x) + a^{2} x = a + b \]
\[ 2 a b x + b^{2} x + a^{2} x = a + b \]
Factoriser \(x\) dans les termes de gauche :
\[ x(2 a b + b^{2} + a^{2}) = a + b \]
Isoler \(x\) :
Divisons les deux côtés par \((2 a b + b^{2} + a^{2})\) :
\[ x = \frac{a + b}{a^{2} + 2 a b + b^{2}} \]
Remarquons que le dénominateur peut être écrit comme un carré parfait :
\[ a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2} \]
Donc :
\[ x = \frac{a + b}{(a + b)^{2}} = \frac{1}{a + b} \]
Réponse : \(x = \dfrac{1}{a + b}\)