Exercice 116

Résoudre les équations littérales suivantes, où \(x\) est l’inconnue :

1. \(a x - c = b x + a\)
2. \(b x + a = b + a x\)
3. \(b x - 2 a x = 2 a - b x\)
4. \(a x - a^{2} = b^{2} - b x\)
5. \(x - 1 = b + b^{2} x\)
6. \(a \cdot (a x - 1) - b^{2} x = b \cdot (1 - 2 a x) - 2 b^{2} x\)

Réponse

Résumé des solutions :

1. \(x = \frac{a + c}{a - b}\)
2. \(x = 1\)
3. \(x = \frac{a}{b - a}\)
4. \(x = \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}\)
5. \(x = \frac{1}{1 - b}\)
6. \(x = \frac{1}{a + b}\)

Corrigé détaillé

Correction des équations littérales

Nous allons résoudre chacune des équations littérales où \(x\) est l’inconnue, en suivant des étapes claires et détaillées.

1) \(a x - c = b x + a\)

Étapes de résolution :

1. Isoler les termes contenant \(x\) d’un côté de l’équation : \[ a x - b x = a + c \] En soustrayant \(b x\) des deux côtés.

2. Factoriser \(x\) : \[ x (a - b) = a + c \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a + c}{a - b} \]

Solution : \[ x = \frac{a + c}{a - b} \]

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2) \(b x + a = b + a x\)

Étapes de résolution :

1. Regrouper les termes contenant \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre : \[ b x - a x = b - a \] En soustrayant \(a\) des deux côtés et \(a x\) des deux côtés.

2. Factoriser \(x\) : \[ x (b - a) = b - a \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{b - a}{b - a} \] Simplifiant, on obtient : \[ x = 1 \]

Solution : \[ x = 1 \]

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3) \(b x - 2 a x = 2 a - b x\)

Étapes de résolution :

1. Regrouper les termes contenant \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre : \[ b x - 2 a x + b x = 2 a \] En ajoutant \(b x\) des deux côtés.

2. Simplifier les termes similaires : \[ (b + b - 2 a) x = 2 a \] \[ (2 b - 2 a) x = 2 a \]

3. Factoriser 2 dans le coefficient de \(x\) : \[ 2 (b - a) x = 2 a \]

4. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{2 a}{2 (b - a)} = \frac{a}{b - a} \]

Solution : \[ x = \frac{a}{b - a} \]

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4) \(a x - a^{2} = b^{2} - b x\)

Étapes de résolution :

1. Regrouper les termes contenant \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre : \[ a x + b x = b^{2} + a^{2} \] En ajoutant \(b x\) des deux côtés et en ajoutant \(a^{2}\) des deux côtés.

2. Factoriser \(x\) : \[ x (a + b) = a^{2} + b^{2} \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} \]

Solution : \[ x = \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b} \]

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5) \(x - 1 = b + b^{2} x\)

Étapes de résolution :

1. Regrouper les termes contenant \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre : \[ x - b^{2} x = b + 1 \] En ajoutant 1 des deux côtés et en soustrayant \(b^{2} x\) des deux côtés.

2. Factoriser \(x\) : \[ x (1 - b^{2}) = b + 1 \]

3. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{b + 1}{1 - b^{2}} \] On peut factoriser le dénominateur : \[ x = \frac{b + 1}{(1 - b)(1 + b)} \] Simplifiant davantage : \[ x = -\frac{b + 1}{(b - 1)(b + 1)} = -\frac{1}{b - 1} \] Donc : \[ x = \frac{1}{1 - b} \]

Solution : \[ x = \frac{1}{1 - b} \]

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6) \(a \cdot (a x - 1) - b^{2} x = b \cdot (1 - 2 a x) - 2 b^{2} x\)

Étapes de résolution :

1. Développer les deux côtés de l’équation : \[ a (a x) - a \cdot 1 - b^{2} x = b \cdot 1 - b \cdot 2 a x - 2 b^{2} x \] \[ a^{2} x - a - b^{2} x = b - 2 a b x - 2 b^{2} x \]

2. Regrouper tous les termes contenant \(x\) d’un côté et les termes constants de l’autre : \[ a^{2} x - b^{2} x + 2 a b x + 2 b^{2} x = b + a \] En ajoutant \(2 a b x\) et \(2 b^{2} x\) des deux côtés, et en ajoutant \(a\) des deux côtés.

3. Factoriser \(x\) : \[ x (a^{2} - b^{2} + 2 a b + 2 b^{2}) = a + b \] Simplifions les coefficients : \[ a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2} \] Ainsi : \[ x (a + b)^{2} = a + b \]

4. Isoler \(x\) : \[ x = \frac{a + b}{(a + b)^{2}} = \frac{1}{a + b} \]

Solution : \[ x = \frac{1}{a + b} \]