Trouver deux nombres dont la somme est \(45\), sachant que si on additionne l’un des nombres aux deux tiers de l’autre, on obtient \(39\).
Les nombres recherchés sont 27 et 18.
Nous cherchons deux nombres que nous nommerons x et y. On nous donne deux informations :
Leur somme est égale à 45, ce qui se traduit par l’équation : x + y = 45
La somme de l’un des nombres et des deux tiers de l’autre est égale à 39, ce qui s’écrit : x + (2/3)y = 39
Astuce : Nous allons exprimer x en fonction de y à partir de la première équation, puis remplacer dans la deuxième équation.
Étape 1 : Exprimer x en fonction de y
À partir de x + y = 45, on peut isoler x : x = 45 − y
Étape 2 : Remplacer x dans la deuxième équation
Nous substituons x dans l’équation x + (2/3)y = 39 : (45 − y) + (2/3)y
= 39
Étape 3 : Simplifier l’équation
D’abord, développons et combinons les termes contenant y.
On écrit y comme (3/3)y afin de pouvoir combiner avec (2/3)y : 45 −
(3/3)y + (2/3)y = 39
Ce qui donne : 45 − (1/3)y = 39
Étape 4 : Isoler le terme en y
Soustrayons 45 des deux côtés de l’équation : −(1/3)y = 39 − 45
−(1/3)y = −6
Pour se débarrasser du coefficient −(1/3), on multiplie chaque côté
de l’équation par −3 : y = (−6) × (−3)
y = 18
Étape 5 : Retrouver x
Nous utilisons l’expression de x trouvée en étape 1 : x = 45 − y
x = 45 − 18
x = 27
Vérification :
Vérifions que ces nombres satisfont bien les deux conditions.
Les deux vérifications confirment que la solution est correcte.
Conclusion :
Les deux nombres sont 27 et 18.