Résoudre les équations suivantes :
\(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{x}{6} + 1\)
\(\frac{x + 3}{2} - \frac{6x + 7}{8} = \frac{9 - 3x}{5} - \frac{1}{8}\)
\(\frac{1 + x}{14} + \frac{x - 6}{7} + 1 = 0\)
\(\frac{4}{7} \cdot (x - 1) = \frac{3}{5} \cdot \left(x - \frac{2}{3}\right)\)
\(3x - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{x}{5} + 6\right) = 25 + \frac{3}{2}x\)
\(x - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}x - \frac{x - 2}{4}\right) = \frac{2 + 4x}{3}\)
Réponses : 1) x = 3/2
2) x = 3
3) x = –1
4) x = –6
5) x = 20
6) x = –2
Nous allons résoudre chacune des équations pas à pas en expliquant chaque manipulation.
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1) Équation : (x/2) + (x/3) = (x/6) + 1
• Identifier le dénominateur commun pour les fractions du membre de gauche. Ici, les dénominateurs sont 2, 3 et 6. Le plus petit commun multiple est 6.
• Multiplions chaque terme de l’équation par 6 pour se débarrasser des dénominateurs :
6 · (x/2) + 6 · (x/3) = 6 · (x/6) + 6 · 1
• Calcul des produits :
6/2 = 3, donc 3x ; 6/3 = 2, donc 2x ; 6/6 = 1, donc x
L’équation devient : 3x + 2x = x + 6
• Regroupons et simplifions :
5x = x + 6
Soustrayons x des deux côtés : 5x – x = 6
4x = 6
• Divisons par 4 pour isoler x :
x = 6/4 = 3/2
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2) Équation : (x + 3)/2 – (6x + 7)/8 = (9 – 3x)/5 – 1/8
• Remarquons que les dénominateurs sont 2, 8, 5 et 8. Le plus petit commun multiple (PPCM) de 2, 8 et 5 est 40.
• Multiplions tous les termes par 40 afin d’éliminer les fractions :
40 · (x + 3)/2 – 40 · (6x + 7)/8 = 40 · (9 – 3x)/5 – 40 · 1/8
• Calcul des coefficients :
40/2 = 20
40/8 = 5
40/5 = 8
40/8 = 5
• L’équation devient :
20(x + 3) – 5(6x + 7) = 8(9 – 3x) – 5
• Développons chaque terme :
20x + 60 – 30x – 35 = 72 – 24x – 5
Sur le côté gauche : (20x – 30x) = –10x et (60 – 35) = 25
Sur le côté droit : 72 – 5 = 67, donc l’expression devient 67 –
24x
Ainsi, –10x + 25 = –24x + 67
• Isolons x :
Ajoutons 24x aux deux côtés : 14x + 25 = 67
Soustrayons 25 : 14x = 42
Divisons par 14 : x = 42/14 = 3
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3) Équation : (1 + x)/14 + (x – 6)/7 + 1 = 0
• Les fractions ont pour dénominateur 14 et 7. Comme 14 est un multiple de 7, exprimons la deuxième fraction avec le dénominateur 14 :
(x – 6)/7 = [2(x – 6)]/14
• L’équation s’écrit ainsi :
(1 + x)/14 + 2(x – 6)/14 + 1 = 0
• Regroupons les fractions qui ont le même dénominateur :
[ (1 + x) + 2(x – 6) ]/14 + 1 = 0
• Développons le numérateur :
1 + x + 2x – 12 = 3x – 11
Donc, l’équation devient : (3x – 11)/14 + 1 = 0
• Isolons la fraction :
(3x – 11)/14 = –1
• Multiplions par 14 :
3x – 11 = –14
• Ajoutons 11 des deux côtés :
3x = –14 + 11
3x = –3
• Divisons par 3 :
x = –1
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4) Équation : (4/7) · (x – 1) = (3/5) · (x – 2/3)
• Pour éliminer les fractions, multiplions par le PPCM des dénominateurs 7 et 5, qui est 35 :
35 · (4/7)(x – 1) = 35 · (3/5)(x – 2/3)
• Calcul des produits :
35/7 = 5, donc côté gauche devient 5 · 4(x – 1) = 20(x – 1)
35/5 = 7, donc côté droit devient 7 · 3(x – 2/3) = 21(x – 2/3)
• Développons le côté droit :
21(x – 2/3) = 21x – 14 (puisque 21 · (2/3) = 14)
• L’équation est alors :
20(x – 1) = 21x – 14
Développons le côté gauche : 20x – 20 = 21x – 14
• Isolons x :
Soustrayons 20x des deux côtés : –20 = x – 14
Ajoutons 14 : –20 + 14 = x
x = –6
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5) Équation : 3x – (1/2)·(x/5 + 6) = 25 + (3/2)x
• Commencez par développer le terme (1/2)·(x/5 + 6) :
(1/2)·(x/5) = x/10
(1/2)·6 = 3
Donc, (1/2)(x/5 + 6) = x/10 + 3
• L’équation devient :
3x – (x/10 + 3) = 25 + (3/2)x
ou 3x – x/10 – 3 = 25 + (3/2)x
• Pour se débarrasser des fractions, multiplions toute l’équation par 10 (le plus petit multiple commun de 10 et 2) :
10 · [3x] – 10·(x/10) – 10·3 = 10·25 + 10·(3/2)x
• Calculons chaque terme :
10·3x = 30x
10·(x/10) = x
10·3 = 30
10·25 = 250
10·(3/2)x = 15x
• L’équation devient :
30x – x – 30 = 250 + 15x
Simplifions le côté gauche : 29x – 30 = 250 + 15x
• Isolons x :
Soustrayons 15x des deux côtés : 29x – 15x – 30 = 250
14x – 30 = 250
Ajoutons 30 : 14x = 280
Divisons par 14 : x = 280/14 = 20
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6) Équation : x – 3 · [ (1/2)x – (x – 2)/4 ] = (2 + 4x)/3
• D’abord, simplifions l’expression à l’intérieur des crochets :
Pour combiner (1/2)x et – (x – 2)/4, mettons-les sur le même dénominateur. Le dénominateur commun pour 2 et 4 est 4.
(1/2)x = (2x)/4
L’expression devient : (2x)/4 – (x – 2)/4 = [2x – (x – 2)]/4
Développons le numérateur : 2x – x + 2 = x + 2
Donc, l’expression est (x + 2)/4
• Maintenant, multiplions par 3 :
3 · [(x + 2)/4] = [3(x + 2)]/4
• L’équation se transforme en :
x – [3(x + 2)]/4 = (2 + 4x)/3
• Pour éliminer les dénominateurs 4 et 3, multiplions chaque terme par 12 (le petit commun multiple de 4 et 3) :
12·x – 12·[3(x + 2)/4] = 12·[(2 + 4x)/3]
• Calculons :
12·x = 12x
12/4 = 3, donc 12·[3(x + 2)/4] = 3·3(x + 2) = 9(x + 2)
12/3 = 4, donc le côté droit devient 4(2 + 4x)
• L’équation est :
12x – 9(x + 2) = 4(2 + 4x)
• Développons chaque côté :
Côté gauche : 12x – 9x – 18 = 3x – 18
Côté droit : 4·2 + 4·4x = 8 + 16x
• Ainsi, l’équation s’écrit :
3x – 18 = 16x + 8
• Isolons x :
Soustrayons 3x des deux côtés : –18 = 13x + 8
Soustrayons 8 : –18 – 8 = 13x
–26 = 13x
Divisons par 13 : x = –26/13 = –2
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Récapitulatif des solutions : 1) x = 3/2
2) x = 3
3) x = –1
4) x = –6
5) x = 20
6) x = –2
Chacune de ces étapes permet de comprendre comment isoler la variable et obtenir la solution de l’équation.