\[ \begin{array}{rlrl} 3 \cdot (5I - 3) - (I - 9) & = 0 & \quad I & = \\ 3X \cdot (X - 2) & = X \cdot (3X - 5) - 5 & \quad X & = \\ 5 \cdot (2S - 4) - 2 \cdot (S + 5) & = 4S + 2 & \quad S & = \\ 4 \cdot (U - 5) - 5 \cdot (3 - 2U) & = U + 4 & \quad U & = \\ 4L + 5 & = 3 \cdot (L + 4) & \quad L & = \\ 5 \cdot (A - 3) - 3 \cdot (A - 1) & = 6 \cdot (3A - 5) + 2 & \quad A & = \\ (2B + 3) \cdot 7 & = 12B + 33 & \quad B & = \\ E \cdot (2E - 4) - 3 \cdot (E + 2) & = 2E \cdot (E - 3) - 10 & \quad E & = \\ (2C - 5) \cdot 6 - (C - 3) \cdot 13 & = 0 & \quad C & = \\ 3 \cdot (2T - 5) + 6 \cdot (3T - 5) & = 2T - 1 & \quad T & = \end{array} \]
\[71642084482459381674 \dots\]
par la lettre correspondante dans la liste ci-dessus.
\[ \begin{array}{rlrl} (2E + 5) \cdot 3 & = 4 \cdot (3E - 2) - 1 & \quad E & = \\ 8S - 6 & = 2 \cdot (3 - S) + 3 \cdot (2S + 4) & \quad S & = \\ (2R + 4) \cdot 3 - R \cdot (5R + 2) & = 5R \cdot (2 - R) & \quad R & = \\ 2 \cdot (8I - 5) - 9 \cdot (2I - 3) & = 3 & \quad I & = \\ 5 \cdot (3P - 1) - 4 \cdot (P + 2) & = P - 3 & \quad P & = \\ 6M + 5 & = 9 + 5 \cdot (2M - 8) & \quad M & = \\ 3 \cdot (2N + 4) & = 5 \cdot (N + 3) - 3 & \quad N & = \\ A \cdot (A - 3) & = A^{2} - 5A + 16 & \quad A & = \\ 3L + 5 & = 2 \cdot (L + 4) & \quad L & = \\ T \cdot (3T - 4) & = 3T \cdot (T - 2) + 10 & \quad T & = \end{array} \]
en remplaçant chaque chiffre par la lettre correspondante.
Première partie : en résolvant les équations, on obtient I=0, X=5, S=8, U=3, L=7, A=1, B=6, E=4, C=9 et T=2, ce qui donne la correspondance 0→I, 1→A, 2→T, 3→U, 4→E, 5→X, 6→B, 7→L, 8→S, 9→C. Le message 71642084482459381674 se traduit ainsi par «LA BETISE EST EXCUSABLE».
Deuxième partie : en résolvant le second système, on trouve E=4, S=6, R=2, I=7, P=1, M=9, N=0, A=8, L=3 et T=5, soit la correspondance 0→N, 1→P, 2→R, 3→L, 4→E, 5→T, 6→S, 7→I, 8→A, 9→M. Pour déchiffrer le message, il suffit de remplacer chaque chiffre par sa lettre correspondante.
Voici la correction détaillée de l’exercice, étape par étape. On travaillera d’abord la PREMIÈRE PARTIE, puis la DEUXIÈME PARTIE.
────────────────────────────── Première partie
On vous propose de résoudre chacune des dix équations, puis d’utiliser les solutions pour constituer un « code » qui permettra de remplacer des chiffres par des lettres.
【Équation 1 – pour la lettre I】 L’équation à résoudre est 3 · (5I – 3) – (I – 9) = 0. • Développons : 3·(5I) = 15I et 3·(–3) = –9, donc on a 15I – 9. • Puis, on soustrait (I – 9), ce qui revient à : 15I – 9 – I + 9. • On regroupe les termes : (15I – I) + (–9 + 9) = 14I + 0. • Ainsi, 14I = 0 ⇒ I = 0.
【Équation 2 – pour la lettre X】 L’équation est 3X · (X – 2) = X · (3X – 5) – 5. • Côté gauche : 3X · (X – 2) = 3X² – 6X. • Côté droit : X · (3X – 5) – 5 = 3X² – 5X – 5. • Écrivons l’équation : 3X² – 6X = 3X² – 5X – 5. • Soustrayons 3X² de chaque côté : –6X = –5X – 5. • Ajoutons 5X aux deux côtés : –X = –5. • Ainsi, X = 5.
【Équation 3 – pour la lettre S】 L’équation est 5 · (2S – 4) – 2 · (S + 5) = 4S + 2. • Développons le premier terme : 5·(2S) = 10S et 5·(–4) = –20. • Le deuxième terme : 2·(S) = 2S et 2·5 = 10, donc –2S – 10. • Ensemble : 10S – 20 – 2S – 10 = (10S – 2S) + (–20 – 10) = 8S – 30. • L’équation devient : 8S – 30 = 4S + 2. • Soustrayons 4S et ajoutons 30 : 4S = 32 ⇒ S = 8.
【Équation 4 – pour la lettre U】 L’équation est 4 · (U – 5) – 5 · (3 – 2U) = U + 4. • Développons : 4U – 20 – [5×3 – 5×2U] = 4U – 20 – (15 – 10U). • Faites attention à bien changer le signe : 4U – 20 – 15 + 10U = (4U + 10U) – 35 = 14U – 35. • L’équation devient : 14U – 35 = U + 4. • Rassemblons les inconnues : 14U – U = 4 + 35 ⇒ 13U = 39. • D’où U = 3.
【Équation 5 – pour la lettre L】 L’équation est 4L + 5 = 3 · (L + 4). • Développons le côté droit : 3L + 12. • On a donc : 4L + 5 = 3L + 12. • Soustrayons 3L : L + 5 = 12 ⇒ L = 7.
【Équation 6 – pour la lettre A】 L’équation est 5 · (A – 3) – 3 · (A – 1) = 6 · (3A – 5) + 2. • Développons : – Côté gauche : 5A – 15 – 3A + 3 = (5A – 3A) + (–15 + 3) = 2A – 12. – Côté droit : 18A – 30 + 2 = 18A – 28. • L’équation devient : 2A – 12 = 18A – 28. • Isolons A : 18A – 2A = 28 – 12 ⇒ 16A = 16 ⇒ A = 1.
【Équation 7 – pour la lettre B】 L’équation est (2B + 3) · 7 = 12B + 33. • Développons le côté gauche : 14B + 21. • On a donc : 14B + 21 = 12B + 33. • Soustrayons 12B : 2B + 21 = 33. • Puis soustrayez 21 : 2B = 12 ⇒ B = 6.
【Équation 8 – pour la lettre E】 L’équation est E · (2E – 4) – 3 · (E + 2) = 2E · (E – 3) – 10. • Développons : – Côté gauche : 2E² – 4E – 3E – 6 = 2E² – 7E – 6. – Côté droit : 2E² – 6E – 10. • Soustrayons le côté droit au côté gauche : (2E² – 7E – 6) – (2E² – 6E – 10) = (2E² – 7E – 6 – 2E² + 6E + 10) = –E + 4. • Ainsi, –E + 4 = 0 ⇒ E = 4.
【Équation 9 – pour la lettre C】 L’équation est (2C – 5) · 6 – (C – 3) · 13 = 0. • Développons : – (2C – 5) · 6 = 12C – 30. – (C – 3) · 13 = 13C – 39. • On obtient : 12C – 30 – (13C – 39) = 12C – 30 – 13C + 39 = –C + 9 = 0. • Donc, –C + 9 = 0 ⇒ C = 9.
【Équation 10 – pour la lettre T】 L’équation est 3 · (2T – 5) + 6 · (3T – 5) = 2T – 1. • Développons : – 3 · (2T – 5) = 6T – 15. – 6 · (3T – 5) = 18T – 30. • La somme donne : 6T + 18T – 15 – 30 = 24T – 45. • L’équation est donc : 24T – 45 = 2T – 1. • Soustrayez 2T : 22T – 45 = –1 ⇒ 22T = 44 ⇒ T = 2.
────────────────────────────── Les solutions de la première partie sont donc :
I = 0
X = 5
S = 8
U = 3
L = 7
A = 1
B = 6
E = 4
C = 9
T = 2
Ces résultats nous permettent d’établir une correspondance entre le
chiffre et la lettre. Pour faciliter le décodage, on place chaque lettre
sur le chiffre égal à sa solution : 0 ⟶ I
1 ⟶ A
2 ⟶ T
3 ⟶ U
4 ⟶ E
5 ⟶ X
6 ⟶ B
7 ⟶ L
8 ⟶ S
9 ⟶ C
On vous donne le message codé (une suite de chiffres) :
71642084482459381674 …
Pour déchiffrer, il suffit de remplacer chaque chiffre par la lettre correspondante, selon le tableau ci-dessus.
Faisons-le chiffre par chiffre :
• 7 ⟶ L
• 1 ⟶ A
• 6 ⟶ B
• 4 ⟶ E
• 2 ⟶ T
• 0 ⟶ I
• 8 ⟶ S
• 4 ⟶ E
• 4 ⟶ E
• 8 ⟶ S
• 2 ⟶ T
• 4 ⟶ E
• 5 ⟶ X
• 9 ⟶ C
• 3 ⟶ U
• 8 ⟶ S
• 1 ⟶ A
• 6 ⟶ B
• 7 ⟶ L
• 4 ⟶ E
En réunissant les lettres, on obtient :
L A B E T I S E E S T E X C U S A B L E
On peut y introduire les espaces pour former une phrase :
« LA BETISE EST EXCUSABLE »
────────────────────────────── Deuxième partie
On résout maintenant un second système d’équations qui va nous permettre d’établir un nouveau code.
【Équation 1 – pour la lettre E】 L’équation : (2E + 5) · 3 = 4 · (3E – 2) – 1. • Côté gauche : 3 · (2E + 5) = 6E + 15. • Côté droit : 4 · (3E – 2) = 12E – 8, puis 12E – 8 – 1 = 12E – 9. • Ainsi, 6E + 15 = 12E – 9 ⇒ 12E – 6E = 15 + 9 ⇒ 6E = 24 ⇒ E = 4.
【Équation 2 – pour la lettre S】 L’équation : 8S – 6 = 2 · (3 – S) + 3 · (2S + 4). • Développons : 2 · (3 – S) = 6 – 2S et 3 · (2S + 4) = 6S + 12. • Leur somme : 6 – 2S + 6S + 12 = 4S + 18. • Ainsi, 8S – 6 = 4S + 18 ⇒ 8S – 4S = 18 + 6 ⇒ 4S = 24 ⇒ S = 6.
【Équation 3 – pour la lettre R】 L’équation : (2R + 4) · 3 – R · (5R + 2) = 5R · (2 – R). • Développons le premier terme : (2R + 4) · 3 = 6R + 12. • Le terme soustrait : R · (5R + 2) = 5R² + 2R. • Ainsi, côté gauche = 6R + 12 – 5R² – 2R = –5R² + 4R + 12. • Côté droit : 5R · (2 – R) = 10R – 5R². • L’équation s’écrit alors : –5R² + 4R + 12 = –5R² + 10R. • On peut annuler –5R² de chaque côté et il reste : 4R + 12 = 10R ⇒ 12 = 6R ⇒ R = 2.
【Équation 4 – pour la lettre I】 L’équation : 2 · (8I – 5) – 9 · (2I – 3) = 3. • Développons : 2 · (8I – 5) = 16I – 10. • Et 9 · (2I – 3) = 18I – 27. • Ainsi, 16I – 10 – (18I – 27) = 16I – 10 – 18I + 27 = –2I + 17. • Alors, –2I + 17 = 3 ⇒ –2I = 3 – 17 = –14 ⇒ I = 7.
【Équation 5 – pour la lettre P】 L’équation : 5 · (3P – 1) – 4 · (P + 2) = P – 3. • Développons : 5 · (3P – 1) = 15P – 5 et 4 · (P + 2) = 4P + 8. • Ainsi, 15P – 5 – 4P – 8 = 11P – 13. • On a donc : 11P – 13 = P – 3 ⇒ 11P – P = –3 + 13 ⇒ 10P = 10 ⇒ P = 1.
【Équation 6 – pour la lettre M】 L’équation : 6M + 5 = 9 + 5 · (2M – 8). • Développons le côté droit : 5 · (2M – 8) = 10M – 40, puis 10M – 40 + 9 = 10M – 31. • Ainsi, 6M + 5 = 10M – 31. • On écrit : 10M – 6M = 5 + 31 ⇒ 4M = 36 ⇒ M = 9.
【Équation 7 – pour la lettre N】 L’équation : 3 · (2N + 4) = 5 · (N + 3) – 3. • Développons : 3 · (2N + 4) = 6N + 12 et 5 · (N + 3) – 3 = 5N + 15 – 3 = 5N + 12. • Ainsi, 6N + 12 = 5N + 12 ⇒ N = 0.
【Équation 8 – pour la lettre A】 L’équation : A · (A – 3) = A² – 5A + 16. • Le côté gauche s’écrit A² – 3A. • On a donc : A² – 3A = A² – 5A + 16. • Annulez A² et ajoutez 5A aux deux côtés : 2A = 16 ⇒ A = 8.
【Équation 9 – pour la lettre L】 L’équation : 3L + 5 = 2 · (L + 4). • Développons le côté droit : 2L + 8. • On obtient : 3L + 5 = 2L + 8 ⇒ L = 3.
【Équation 10 – pour la lettre T】 L’équation : T · (3T – 4) = 3T · (T – 2) + 10. • Développons chaque membre : – Côté gauche : T · (3T – 4) = 3T² – 4T. – Côté droit : 3T · (T – 2) = 3T² – 6T, puis ajoutez 10 : 3T² – 6T + 10. • Ainsi, 3T² – 4T = 3T² – 6T + 10. • En annulant 3T², on obtient : –4T = –6T + 10. • Ajoutez 6T aux deux côtés : 2T = 10 ⇒ T = 5.
────────────────────────────── Les solutions de la deuxième partie sont :
E = 4
S = 6
R = 2
I = 7
P = 1
M = 9
N = 0
A = 8
L = 3
T = 5
Ces résultats permettent la seconde correspondance. On affecte chaque lettre au chiffre égal à sa solution :
0 ⟶ N
1 ⟶ P
2 ⟶ R
3 ⟶ L
4 ⟶ E
5 ⟶ T
6 ⟶ S
7 ⟶ I
8 ⟶ A
9 ⟶ M
Pour cette partie, on vous demande de déchiffrer un message en remplaçant chaque chiffre par la lettre correspondante, selon la nouvelle correspondance ci-dessus.
Si, par exemple, le message codé était la même suite utilisée précédemment (71642084482459381674), nous procèderions ainsi :
• Commençons par écrire la correspondance : 7 ⟶ I
1 ⟶ P
6 ⟶ S
4 ⟶ E
2 ⟶ R
0 ⟶ N
8 ⟶ A
4 ⟶ E
4 ⟶ E
8 ⟶ A
2 ⟶ R
4 ⟶ E
5 ⟶ T
9 ⟶ M
3 ⟶ L
8 ⟶ A
1 ⟶ P
6 ⟶ S
7 ⟶ I
4 ⟶ E
Ce qui donne la suite : I P S E R N A E E A R E T M L A P S I E
Cependant, il se peut que le message à déchiffrer de la deuxième partie soit différent de celui de la première partie. L’énoncé indique simplement « Déchiffrer le message en remplaçant chaque chiffre par la lettre correspondante » sans préciser la séquence numérique exacte.
Ainsi, pour déchiffrer le message de la deuxième partie, il faut utiliser la correspondance suivante : 0 ⟶ N, 1 ⟶ P, 2 ⟶ R, 3 ⟶ L, 4 ⟶ E, 5 ⟶ T, 6 ⟶ S, 7 ⟶ I, 8 ⟶ A, 9 ⟶ M. Il suffira ensuite de remplacer les chiffres présents dans le message par leur lettre associée pour obtenir le texte en clair.
────────────────────────────── Récapitulatif des résultats
• Première partie : – Solutions : I = 0, X = 5, S = 8, U = 3, L = 7, A = 1, B = 6, E = 4, C = 9, T = 2. – Correspondance utilisée : 0 ⟶ I, 1 ⟶ A, 2 ⟶ T, 3 ⟶ U, 4 ⟶ E, 5 ⟶ X, 6 ⟶ B, 7 ⟶ L, 8 ⟶ S, 9 ⟶ C. – Décodage du message 71642084482459381674 donne : « LA BETISE EST EXCUSABLE »
• Deuxième partie : – Solutions : E = 4, S = 6, R = 2, I = 7, P = 1, M = 9, N = 0, A = 8, L = 3, T = 5. – Nouvelle correspondance : 0 ⟶ N, 1 ⟶ P, 2 ⟶ R, 3 ⟶ L, 4 ⟶ E, 5 ⟶ T, 6 ⟶ S, 7 ⟶ I, 8 ⟶ A, 9 ⟶ M. – Pour déchiffrer le message de la deuxième partie, il faut procéder de façon analogue en substituant chaque chiffre par sa lettre correspondante.
Cette correction permet de suivre pas à pas la méthode de résolution et de décodage. Vous disposez ainsi de toutes les instructions pour aboutir aux réponses attendues.